Rellen Wert für i?

5 Antworten

Es gibt keine reelle Zahl, die i darstellen kann. Da „Minus mal Minus gleich Plus ist“, also das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl positiv (oder 0) ist, gibt es für die Gleichung

(1)    x² + 1 = 0

keine reelle Lösung. Natürlich können Funktionen, die i enthalten oder als Argument haben, einen reellen Zahlenwert liefern; das gilt namentlich für sogenannte gerade Funktionen:

Ich habe nämlich folgendes herausgefunden:
cosh(i) ist ca. 0.540302…

Klar, es ist dasselbe wie cos(1). Dass dies reell ist, ist kein Zufall, denn sowohl der Cosinus als auch der Cosinus Hyperbolicus sind gerade Funktionen. Du kannst jede dieser Funktionen in jeweils eine Reihe entwickeln:

(2.1)    cos(φ)   = 1 – ½·φ² + (1/24)·φ⁴ – … + (1/(4n)!)·φ^{4n} – …
(2.2)    cosh(ς) = 1 + ½·ς² + (1/24)·ς⁴ + … + (1/(4n)!)·ς^{4n} + …

Wie Du siehst, enthalten beide ausschließlich gerade Potenzen von φ bzw. ς, und gerade Potenzen von i sind immer reell. „Doppelt gerade“ (durch 4 teilbare) Potenzen sind positiv, „einfach gerade“ negativ, aber eben reell.

…und i^{i} ist ungefähr 0.207879,…

Es ist

(3)    i = e^{½·i·π},

und nach den Potenzgesetzen ist ja

(4)    (b^{x})^y = b^{x·y},

mit einer Basis b und den Exponenten x und y. Daher ist

(5)    i^{i} = (e^{½·i·π})^{i} = e^{½·i²·π} = e^{–½·π},

was ebenfalls eine Reelle Zahl ist, wie ganz offensichtlich jeder Zahl, deren Betrag 1 ist. Solche Zahlen nämlich lassen sich als

(6)    e^{iφ} = cos(φ) + i·sin(φ),    φ ∈ ℝ

ausdrücken. Übrigens ist (6) die Euler'sche Formel. Sie lässt sich mit Hilfe der Reihendarstellung (2.1) des Cosinus und der entsprechenden Reihe für den Sinus (sie enthält die Ungeraden Potenzen von φ) motivieren.

Das Schaubild stellt die Potenzen von i in der Komplexen Zahlenebene mit dem Phasenwinkel φ dar.

Die Potenzen von i und e^{iφ} für einen bestimmten Phasenwinkel φ - (Mathe, komplexe zahlen)

Hallo,

da i nicht auf der Zahlengeraden liegt, kann es für i auch keinen reellen Wert geben.

i ist die Lösung für die Gleichung x=Wurzel (-1), so daß i²=(-1) ist.

Wenn Du bei 0 eine Senkrechte durch die Zahlengerade ziehst (wenn die Zahlengerade also die x-Achse darstellt und Du eine y-Achse senkrecht dazu einzeichnest), liegt i auf der 1 dieser senkrechten Achse,
genau oberhalb der 0.

Komplexe Zahlen mit einem imaginären Anteil ungleich Null finden sich oberhalb oder unterhalb der Zahlengerade in der Zahlenebene.

Herzliche Grüße,

Willy

" i ist die Lösung für die Gleichung x=Wurzel (-1), so daß i² = (-1) ist. "

Dazu noch eine Bemerkung:

Die Gleichung  z^2 = (-1)  hat (in der Grundmenge der komplexen Zahlen)  zwei Lösungen, nämlich  i  und  -i , ähnlich wie die Gleichung x^2 = 1  im Reellen die beiden Lösungen  1 und -1  hat.

Allerdings kann man die beiden möglichen Lösungen  "i"  und  "-i"  gar nicht wirklich  durch rechnerische Eigenschaften voneinander unterscheiden.  i  und  -i  sind quasi absolut ununterscheidbare "eineiige Zwillinge" !  Welche der beiden wir dann tatsächlich mit dem Namen "i"  bezeichnen, ist ein rein willkürlicher Akt .....   

Im Gegensatz dazu unterscheiden sich die beiden Lösungen der Gleichung  x^2 = 1  tatsächlich  algebraisch voneinander, denn die eine davon (nämlich die 1)  erfüllt die Gleichung  x^2 = x ,  die andere (die -1)  nicht !

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Dass  cosh(i)  und auch  i ^ i  reellwertig sind, ist interessant. Daraus kann man aber keineswegs schließen, dass es irgendeinen "Trick" geben müsste, um  auch i  persönlich durch einen reellen Wert darzustellen.

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