Rekursive Formel zur Summenbildung?

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2 Antworten

Mir ist nicht ganz klar, was Du suchst:

  • eine kompakte Darstellung Deiner Funktion f: ℕ→ℝ
  • eine Funktionenschar fₙ: (ℕ→ℝ⁺)→ℝ, die Folgen abbildet
  • nur den Grenzwert f dieser Schar fₙ für n→∞

Allgemeine Überlegungen:

Für m⊂{1 … n}, m≠∅ sei sₘ die Teilsumme der λⱼ (j∈m) und S=Σ λⱼ.

  • Es ist f(n) = Σ 1/sₘ + 1/S und f(n+1) = f(n) + Σ 1/(sₘ+λₙ₊₁) + 1/λₙ₊₁. Mit diesem Ansatz spart man sich zwar die Hälfte der Berechnung, aber der Rest braucht immernoch O(2ⁿ). Damit kommt man wohl kaum über n=40.
  • Cool wäre es, wenn man Σ 1/(sₘ+λₙ₊₁) irgendwie flott aus Σ 1/sₘ berechnen könnte. Aber das geht wohl nicht so einfach: Der Ansatz f(n+1)=F(f(n), λₙ₊₁) wird schiefgehen, wenn f(n) für zwei verschiedene Folgen zufällig denselben Wert hat; trotzdem könnte f(n+1) wieder verschiedene Werte haben.
  • Für jedes sₘ hat man auch eine Komplementärsumme S-sₘ. Damit: f(n) = S/2·Σ 1/[sₘ(S-sₘ)] + 1/S. Außerdem: 1/sₘ - 1/(sₘ+λₙ₊₁) = λₙ₊₁/[sₘ(sₘ+λₙ₊₁)]. Kommt man mit Hilfssummen ala Σ(1/sₘ²) weiter?
  • Es gilt fₙ(cλ) = fₙ(λ)/c. Vielleicht ist gₙ(λ):=1/fₙ(λ) oder :=fₙ(1/λ) leichter zu berechnen. Für sₘ=0 lässt sich gₙ zumindest stetig fortsetzen. Es scheint zu reichen, wenn man bei der Untersuchung von f(n+1) nur λₙ₊₁=1 (oder einen geeigneteren Wert, z.B. S) annimmt.

Wenn Du verrätst, woher das Problem kommt und worauf Du hinauswillst, kommt vielleicht noch eine hilfreichere Antwort.

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Muss es unbedingt rekursiv sein?

Hast du schon

f(n+1) - f(n)

probiert?

(Oder muss es wirklich

f(n = k+1) - f(n = k)

heißen?)

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Kommentar von jawo3
14.01.2016, 10:09

Wie meinst du das genau? Kann daraus leider noch keine passende Formel entwickeln.

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