Reihenfolge Quantoren

5 Antworten

Für alle a aus R existiert ein b aus R, sodass für alle c aus R gilt a gleich b plus c.

Ich würde sagen, die Reihenfolge ist schnurz. Es ist egal, ob man sagt, es existiert ein b für alle a und cs, sodass die Gleichung aufgeht oder die Existenzaussage nach hinten schiebt oder wie oben in die Mitte.

Also ist ∀a∈ℝ ∀ c∈ℝ ∃ b∈ℝ: a = b+c das gleiche?

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@abcdefg94

Ich sehe da jedenfalls keinen Unterschied. Ist kommutativ, wenn du es so nimmst ^^

Vielleicht kann man es sogar noch abkürzen: ∀a,c∈ℝ ∃ b∈ℝ: a = b+c

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@abcdefg94

Beide Aussagen sind ( in diesem Zusammenhang leider) richtig, aber nicht gleich. Nachweis unten.

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@evariste

Hmm, jetzt hast du mich so sehr verunsichert, dass ich sogar gerade bezweifel, dass die Aussage in der Frage richtig ist.

Existiert zu jeder reellen Zahl a eine reelle Zahl b, sodass für alle reellen Zahlen c die Gleichung aufgeht?

Für alle reellen Zahlen a (nehmen wir beispielsweise 10) gibt es eine reelle Zahl b (tja, was nehmen wir jetzt für b?), sodass für alle reelen Zahlen c die Gleichung a = b + c erfüllt ist. Eigentlich müsste die Existenzaussage ans Ende, weil zu jeder a-c-Kombination ein b existiert, nicht aber für alle as.

Muss ich nochmal drüber nachdenken. Bin z. Z. etwas konfus.

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@Suboptimierer

Der Allquantor "enthält" den Existenzquantor, die Umkehrung ist falsch.

Da R ein Körper ist, ist er gegenüber Addition abgeschlossen. D.h. beide Aussagen sind richtig, aber nicht äquivalent.

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Für mich ist das eine UND-Verknüpfung. Die Reihenfolge ist egal, es muss ohnehin jede der Bedingungen erfüllt sein.

Im Grunde wird hier ja nur eine Aussage über die Definitionsbereiche gemacht: a und c sind beliebige reelle Zahlen, für b gibt es zumindest einen reellen Zahlenwert, so dass die Gleichung aufgeht.

Es gibt ein Buch hierzu "O.b.d.A trivial" von Alfred Beutelspacher. Daher stammt das folgende Beispiel, welches genau belegt, dass auf die Reihenfolge der Quantoren zu achten ist.

Für ∀ m ∃ f: h(m,f) und ∃ f ∀ m: h(m,f)

Man stelle sich m als Männer, f als Frauen und h als Funktion "hat was mit" vorstellen, dann ist schnell klar, dass die obigen Aussagen nicht äquivalent sind.

Auffallend richtig. ;-))

Man sollte die Quantoren der Reihe nach zu einem gesprochenen Satz zusammenbasteln. Mit zweien ist das einfach. Aber mit 3 und mehr?

Einfach stur mit "(wo) gilt" verknüpfen und hintereinanderhängen? Irgendwie fehlt mir die Übersetzungsvorschrift.

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@ArchEnema

Das ist nicht immer leicht zu übersetzen, aber dafür gibt es die Quantoren -weil sie präzise sind- ja gerade.

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