Reicht es bei einem Beweis ein Beispiel zu zeigen, falls dort steht "es existiert eine Abb. mit einer Eigenschaft..."?

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2 Antworten

Achtung Spoiler (wenn du es selbst lösen willst nicht weiterlesen:

Als Tipp:
Da X und Y Endlich sind, kannst du deren Einträge durchnummerieren,
Sei |X| = n und  |Y| =m mit n≤m
x1,x2,x3, ... ,xn
und
y1,y2,y3, ... yn,yn+1,..., ym

nun kannst du für => die Richtung einfach die Abbildung
x1->y1
x2->y2
...
xn->yn
definieren. Nun hast du EINE abb für ALLE Mengen X,Y mit |X| ≤ |Y|
die Rückrichtung ist genau so einfach
du Nummerierst wieder X durch mit:
x1,x2,x3, ... ,xn
Y hingegegen Nummerierst du nun anhand der Abb durch
sei:
y1:=f(x1)
...
yn:=f(xn)
da f injektiv ist yi ungleich yj für i ungleich j
oder auch: die y1, ... , yn sind Paarweise verschieden.
Damit hast du gezeigt das Y mindestens n Elemente enthält und somit
n≤|Y|
(als ganz kleinen Tipp) ;-)

96dominik712 09.11.2015, 22:28

Vielen Dank! Das hilft mir schon viel weiter :-) Den Schritt mit y_i und y_ j habe ich leider noch nicht ganz verstanden

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Mamuschkaa 09.11.2015, 22:39
@96dominik712

Der sagt nur aus, dass keine zwei y gleich sind.
wäre f nicht injektiv kann es ja sein das
f(x_1)=y_1
f(x_4)=y_4
und y_1=y_4
Das aber f injektiv ist, ist es unmöglich das
f(x_1)=f(x_4)
und somit ist es unmöglich das
y_1=y_4
Eben y_i kann nicht y_j sein außer wenn i=j ist, weil es dann natürlich das selbe ist.
Kann man wohl auch anders formulieren aber so ist es am gängisten

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96dominik712 09.11.2015, 22:46
@Mamuschkaa

Okay jetzt habe ich es verstanden :-) Vielen Dank! Mein Knoten im Kopf hat sich etwas gelöst ;-)

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Nein, denn die Mengen X und Y sind ja nicht spezifiziert, also müsstest du für beliebige zwei Mengen X und Y ein Beispiel für eine passende Abbildung finden.

96dominik712 09.11.2015, 21:15

Ich hatte dann halt die Überlegung gehabt zu sagen, dass X = { x_1,...,x_n) und Y={y_1,...,y_n, y_n+1), damit |X| kleiner gleich |Y|. Da wäre ja auch schon erkennbar, dass eine injektive Abbildung existiert. Aber wie zeige ich das mathematisch korrekt? Ich zerbreche mir schon die ganze Zeit den Kopf bei dieser Aufgabe und komme auf keinen grünen Zweig.

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96dominik712 09.11.2015, 21:18
@PhotonX

Dann existiert dort immer noch eine injektive Abbildung oder? Denn es müssen ja nicht zwingend ALLE y aus Y getroffen werden, da ja nur nach injektiv und nicht surjektiv gefragt ist.

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PhotonX 09.11.2015, 21:24
@96dominik712

Schon richtig, aber du musst es eben für beliebige X und Y zeigen.

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96dominik712 09.11.2015, 21:25
@PhotonX

Und genau da hapert es bei mir... Ich habe keinen zielführenden Ansatz

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PhotonX 09.11.2015, 21:30
@96dominik712

Naja, du könntest ja starten mit X={x_1,...x_m} und Y={y_1,...,y_n+m} wobei 0≤n. Das wären zwei ganz allgemeine endliche Mengen mit |X|≤|Y|. Damit könntest du jetzt arbeiten.

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96dominik712 09.11.2015, 21:37
@PhotonX

Das habe ich versucht und dann halt über die Definition von Injektivität an den Beweis zu kommen. Wenn ich allerdings die Definition f(x_1) = f(x_2) => x_1 = x_2 nehme, bräuchte ich doch eigentlich eine konkrete Funktion f: X -> Y, oder nicht?

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PhotonX 09.11.2015, 22:35
@96dominik712

Wähle dir doch eine konkrete Funktion! Jetzt wo du X und Y in voller Allgemeinheit aufgestellt hast, kannst du ein konkretes Beispiel für f wählen.

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96dominik712 09.11.2015, 23:13
@PhotonX

Achso jetzt geht das? Das war von Beginn an mein Gedanke, aber dachte halt, dass es generell falsch ist, einen konkreten Fall anzugeben

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