Regel von l'Hospital - Beispiel?

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3 Antworten

Na, was sind denn die dir bekannten Methoden? Zuerst guckst du, ob der Satz überhaupt angewendet werden darf. Bei dir geht der Sinus im Zähler gegen 0 (für x gegen 0) und der Nenner auch. Mit "0/0" ist die Regel also zulässig. Erster schritt geschafft. Jetzt kommt die Regel zum Einsatz - wenn du sie kennst, wo ist das Problem? Zähler abgeleitet ergibt den Cosinus. Den Nenner kannst du mit der Kettenregel ableiten. Vielleicht liest du aber nochmal hier nach: http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital

Der Zähler 1/lnx ist 0?

Bei mir wird es als mathematischer Fehler angezeigt, da man ln(0) nicht berechnen kann/darf. Oder habe ich mich irgendwo anders geirrt?

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@Handballex

Das hat schon alles seine Richtigkeit. "Geht gegen" heißt nicht "ist". Wenn alle Funktionen überall dfiniert wären, wären grenzwerte ja langweilig. ln(0) ist nicht definiert, weil e^x für kein x 0 wird. Aber für x gegen 0 wird der Betrag von ln(x) unendlich groß, d.h. der Kehrwert geht gegen 0 und das steht bei dir im Nenner.

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@philip1992

Danach kommt cos/(-1/xlnx²). Im Nenner des Nenners steht xlnx. Das eine strebt gegen 0, das andere gegen Unendlich. Wie ist hier fortzufahren?

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Ich denke nicht, dass es "so herum" geht. Aber genau anders herum (die Kehrzahl von sin(x) als Nenner). Dann ist für x → 0:

lim ln(x) / (1 / sin(x) ) =

  • Zähler und Nenner sind bestimmt divergent, auch dann ist de l'Hospital anwendbar, wenn die Ableitungen in Zähler und Nenner der Brauch konvergent ist. Also ausprobieren, mit Kettenregel im Nenner:

lim (1/x) / ( - cos(x) / sin²(x) ) =

  • Nenner des Nenners in den Zähler:

lim sin(x) / x * ( - sin(x) / cos(x) ) =

  • lim sin(x) / x = (sin(x) - sin(0)) / (x - 0) = sin'(0) = cos(0) = 1
  • denn Differenzenquotient → Differenzialquotient

1 * 0/1 = 0

Da ging etwas schief. Die missratenen Textstelle soll heißen:

"wenn nach Ableitung in Zähler und Nenner der Bruch konvergent ist."

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nach einmaligem anwenden von L'H bekomme ich:

-cos(x) * (x log^2(x))

nun geht cos(x) gegen 1 , aber was passier mit x * log(x)^2? geht gegen 0. das kann man einzeln zeigen, oder du machst es gleich hier am konkreten beispiel. allerdings wird das unnötig kompliziert, also mach ich dies einzeln:

x log(x)^2 = log(x)^2 / (1/x)

L'H => -2 log(x) x = -2 log(x) / (1/x)

L'H => 2x -> 0

du musst dabei ab dieser stelle das x in den nenner umschreiben, sonst bekommst du den log wohl nie los. am anfang kannst du auch gleich den sinus in den nenner umschreiben, allerdings wird dies in diesem fall ne furchtbar unschöne ableitung, worauf man nochmals L'H anwenden müsste.... also am anfang passt das so.

würdest du streng L'H genau auf deine aufgabe anwenden, so würde auch der cos(x) der übrig blieb die terme sehr unschön machen.

daher: beweise, dass x log(x)^2 gegen 0 geht, und verwende dies als hilfsmittel um vorzeitig aufhören zu können, da 0 * 1 = 0 (0 vom hilfsmittel, 1 vom cos(x))

wenn du das tust, musst du aber auch die grenzwertsätze mit in die facharbeit mit aufnehmen. d.h.: wenn du die grenzwerte einzelner bausteine eines terms kennst, dass du dann auf den gesamt-grenzwert schließen kannst.

in dem fall: es existiere lim f(x) =F und lim g(x)=G, dann ist lim f(x) * g(x) = F * G. nicht über die benennung der variablen wundern, das ist geschmackssache, wie man das nennt.

Muss man bei L'Hospital nicht in der Quotientenschreibweise arbeiten? Du hattest im Produkt gerechnet.

Ich versteh noch nicht ganz die Gleichung die du mir aufgestellt hast. Wozu steht die?

Du redest permanent von log, doch es handelt sich um ln. Ändert das was in deiner Argumentation?

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@Handballex

ich habe sehr wohl in quotientenschreibweise gearbeitet.

welche gleichung meinst du denn?

log ist die gängige bezeichnung für umkehrfunktion der e-funktion. warum man in der schule log für den 10er und nur ln als den natürlichen logarithmus benutzt weiß ich nicht. das ändert absolut nichts an der argumentation, bzw. es ist sogar nur mit dem ln richtig.

ich habe nicht jede kleinigkeit genau ausgeführt, da du ja auch noch was selber machen sollst ;). folge einfach meiner anleitung, bis du meine zwischenergebnisse raus hast.

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@isbowhten

ah die gleichung hat sich erklärt.

nun, das cosx / (1/ xln(x)² , welches nach dem ersten mal lhospital rechnen rauskommt, hat folglich den grenzwert 1/0, da man das aber nicht rechnen darf schreibt man es um in cosx * xlnx² und dann kann man sagen 1*0=0?

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