Rechenweg für diese Differentialgleichung?

Kann mir einer bei der Berechnung dieser Differentialgleichung helfen? Weiß leider nicht wie ich hier anfangen soll...

Answer 1

[max32168]

Du solltest als erstes die Art der DGL bestimmen. Es handelt sich um eine gewöhnliche, lineare, inhomogene DGL 1. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten.

Lösen lässt sich eine solche DGL wie folgt:

Homogene Lösung

Da es sich um eine inhomogene DGL handelt musst du als erstes die homogene DGL lösen und dann eine spezielle/partikuläre Lösung finden. Für eine gewöhnliche, lineare, homogene DGL 1. Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten gibt es eine Lösungsformel:

$y'+a\left(x\right)\cdot y\ =\ 0\ \quad\Leftrightarrow\quad y_h=C\cdot\text{e}^{-A\left(x\right)}$

Dabei ist A(x) die Stammfunktion von a(x). Nachdem du die DGL in die entsprechende Form gebracht hast, kannst du a(x) ablesen. Das ist dann bei dir a(x) = -1/x. Die Stammfunktion davon ist auch recht einfach, nämlich A(x) = -ln(x). Damit ist deine homogene Lösung:

$y_h=C\cdot\text{e}^{-\left(-\ln x\right)}=C\cdot\text{e}^{\ln x}=C\cdot x$

Inhomogene Lösung

Nun musst du die inhomogene DGL lösen. Das machst du mittels Variation der Konstanten. Deine Konstante war ja C. Nun ist diese aber nicht mehr konstant, sondern eine Funktion von x, also c(x). Ziel ist es dieses c(x) zu ermitteln, dann hast du eine partikuläre Lösung.

Dazu nimmst du eine partikuläre Lösung an (gleicher Ansatz, nur c(x)), bestimmst die Ableitung und setzt den Ansatz in die inhomogene DGL ein. Dann kannst du die Gleichung umstellen und erhältst einen Gleichung in der nur c'(x) vorkommt. Du stellst nach c'(x) um und integrierst um c(x) zu erhalten.

$y_p=c\left(x\right)\cdot x\quad\Rightarrow\quad y_p'=c\left(x\right)+x\cdot c'\left(x\right)$

Das in die DGL eingesetzt ergibt:

$x\cdot c\left(x\right)+x^2\cdot c'\left(x\right)-c\left(x\right)\cdot x=x^4\cdot\cos\left(x\right)$

Die beiden Terme mit dem c(x) addieren sich zu Null (das ist immer so, ansonsten hast du etwas falsch gemacht). Stellt man das nach c'(x) um, erhält man c'(x) = x² * cos(x). Das musst du nun integrieren. Das werde ich jetzt hier nicht ausführlich machen:

$c\left(x\right)=-2\sin\left(x\right)+2\ x\cos\left(x\right)+x^2\ \sin\left(x\right)$

Ergebnis

Damit ergibt sich die partikuläre Lösung zu y_p = x*c(x) und die Gesamtlösung als Summe aus homogener und partikulärer Lösung:

$y=y_h+y_p=C\cdot x-2\ x\sin\left(x\right)+2\ x^2\ \cos\left(x\right)+x^3\ \sin\left(x\right)$

Nachdem du die Lösung hast, musst du noch das Anfangswert Problem (AWP) lösen. Dabei machst du nichts anderes als die Konstante C zu bestimmen. Du setzt also y(pi/2) = 0 und stellst nach C um. Dann sollte da C = 2 - pi²/4 herauskommen.

Comments

[jajajaja262]

Super erklärt, danke !!

[jajajaja262]

Ich komme leider noch nicht darauf, wie a(x)=-1/x sein kann ?

Nachdem ich die DGL in die Normalform gebracht habe lautet die bei mir y'-y=x^2*cos(x)

[max32168]

@jajajaja262

Du musst die gegebene DGL nur mit 1/x multiplizieren:

x * y' - y = x^4 * cos(x) | *1/x

y' - 1/x * y = x³ * cos(x)