Real- und Imaginärteil von z=(5/2 + i*(5/2))^10?

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5 Antworten

Hallo Sonnenblume282,

hier gibt es zwei Möglichkeiten. Diese Aufgabe ist so gestrickt, dass man sogar auf die Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahl verzichten könnte. Das liegt daran, dass der komplexe Zeiger gerade einen Sonderfall in seiner Richtungslage einnimmt, nämlich 45°.

Einfaches Quadrieren

(5/2 + i5/2) = 25/4 - 25/4 +2*25/4i = 25/2i

 führt schon zu dem Ergebnis z^2= 25/2*i

Nochmaliges Quadrieren z^4 = -625/4   weil i*i=-1

Nochmaliges Quadrieren z^8 = +390625/16

Und z^8 * z^2 = z^10 = 9765625/32*i

Natürlich kann man das auch mit Polarkoordinaten rechnen :

r=Wurzel[25+25)/4]         phi=45°

r^10 = (50/4)^5 = (25/2)^5=9765625/32

10*45°=450°      450° - 360° = 90°   Zeiger steht auf i

z^10 = 9765625/32*i

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Kommentar von Sonnenblume282
16.11.2015, 22:13

Also den ersten Teil kann ich vollkommen nachvollziehen, aber wie kommt man dann auf r und phi?

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z = (5/2 + i * 5/2)^10 = (5/2)^10 (1+i)^10

Wir suchen für

w = 1+i

eine Darstellung

w = re^(i * phi) = r (cos(phi) + i * sin(phi))

cos(phi) = sin(phi) ist für phi = 1/4 pi erfüllt. Wegen

cos(1/4 pi) = sin(1/4 pi) = 1/2 Wurzel(2) ergibt sich

1+i = r (1/2 Wurzel(2) + i * 1/2 Wurzel(2)),

dann muss r = Wurzel(2) sein. Mit

w = Wurzel(2) e^(i * 1/4 pi) erhält man dann

z = (5/2)^10 (w)^10 =

(5/2)^10 (Wurzel(2) e^(i * 1/4 pi))^10 =

(5/2)^10 (Wurzel(2))^10 e(i * 1/4 * 10 * pi) =

(5/2)^10 * 2^5 e^(i * 5/2 pi) =

5^10 / 2^5 ( cos(5/2 pi) + i sin(5/2 pi) ) =

5^10 / 2^5 ( 0 + i * 1 ) =

5^10 / 2^5 * i,

also sind Real- und Imaginärteil gegeben durch

Re(z) = 0 und Im(z) = 5^10 / 2^5 = 9765625 / 32.

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Schau dir den Binomischen Lehrsatz an und dann einfach rechnen.

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In dem du 5/2 + i * 5/2 in die Form r * e^(i phi) umwandelst. 

Tipp: 5/2 + i * 5/2 = 5/2 * (1 + i) 

Und 1 + i ist? 

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