Quotientenregel nur bei gebrochenrationalen Funktionen?

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5 Antworten

Eine gebrochenrationale Funktion ist eine Funktion, die sich als Bruch zweier Polynome darstellen lässt, soviel zur Definition.

Die Quotientenregel zum Ableiten kannst du überall verwenden, wenn eine Funktion einen Bruch hat, also nicht unbedingt "pure" Polynome.

Wir nehmen zum Beispiel tan(x), das lässt sich nicht so ohne alles ableiten. Wenn man allerdings die Quotientenregel kennt und die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion, kommt man durch Anwendung des Satzes tan(x) = sin(x)/cos(x) auf sec²(x).

Streng genommen ist der Tangens natürlich auch ein Polynom, da er eine Taylorreihe besitzt, also ist er auch eine gebrochenrationale Funktion, aber das gilt für alle unendlich oft differenzierbaren Funktionen, zu denen die gebrochenrationalen meistens gehören.

QR nimmst du, wenn x im Nenner steht

bebrochenr. Funktion wenn x im Nenner steht

Die Quotientenregel gilt für alle Funktionen vom Typ f(x)=u(x)/v(x). Das kommt einfach daher, dass die Regel genau aus diesem allgemeinen Fall hergeleitet wird . Kannst du auch als Übung ganz einfach machen: Schreibe um: f(x)=u(x)* 1/v(x) und dann das Ganze mit der Produktregel sowie der Kettenregel (für den hinteren Teil 1/v(x)) ableiten und dann zusammenfassen.

Eine gebrochenrationale Funktion ist definiert als der Quotient zweier Polynome (ganzrationale Funktion), d.h. Funktionen von der Form a0+a1* x+ a2* x²+ a3* x³+.... Das heißt, dass nicht unbedingt ein x im Zähler stehen muss. Die "normalen" Polynome sind gewissermaßen nur ein Spezialfall der gebrochenrationalen Funktionen mit dem Nennerpolynom 1. Aber normalerweise bezeichnet man nur Funktionen als gebrochenrational, die mindestens ein x im Nenner haben. Im Zähler ist das wie gesagt egal, d.h. Funktionen wie 1/x oder 5/(1+x^2)bezeichnet man auf jeden Fall als gebrochenrationale Funktionen

Definition: Eine Funktion f heißt auch gebrochen-rationale Funktion, falls es zwei Polynomfunktionen p und q gibt, sodass

f(x) = p(x) / q(x) für alle reellen Zahlen x gilt, für die q(x) nicht 0 ist (Außerdem sollte f an den Nullstellen von q gar nicht erst definiert sein).

Kurz: Eine Funktion ist gebrochen-rational, falls sie der Quotient zweier Polynome ist. Da auch q(x) = 1 ein Polynom ist, ist auch p(x) = p(x) / 1 eine gebrochen-rationale Funktion, obwohl gar kein x im Nenner steht.

Die Quotientenregel gilt für alle Funktionen und man kann sie auch bei anderen Funktionen brauchen, als nur bei gebrochen-rationalen.

Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient zweier ganzrationaler Funktionen.

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