Quotientenkriterium anwenden?

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1 Antwort

Hallo,

sei R der Konvergenzradius.

Bei Aufgabe (i) ist aₙ = n!

Aus dem Quotientenkriterium folgt R = 0

Bei Aufgabe (ii) ist weder das Quotienten- noch das Wurzeklriterium anwendbar.

Folgender Ansatz führt zum Ziel:

Für die Partialsumme Sₘ der Reihe gilt

Sₘ = (n=1 bis m) ∑ 1 / [(x+n)(x+n-1)]  = 1/x - 1/(x+m)

Durch vollst. Induktion zeigen.

Daraus folgt, dass die Reihe gegen 1/x konvergiert.

Bei B(i) ist aₙ = n / (2ⁿ • (3n-1))

Aus dem Quotientenkriterium folgt R = 2

In B(ii) ist aₙ = (-1)⁽ⁿ⁻¹⁾ / (2n-1)!

Aus dem Quotientenkriterium folgt R = ∞

Gruß

Recall09 22.07.2017, 23:58

vielen Dank, hätte noch 2 Fragen:

1.es macht also nichts aus (BII), das hier x^k= x^2n-1 ist, dachte es muss genau n sein. Da es von der Formel komplett unabhänig ist, kann ja bei x^k alles stehe ohne das es den Konvergenzradius beeinflusst?

2. Ist jetzt so eine allg Frage, aber was ist wenn ich kein an habe bsp. (0.5x-1)^n, wie berechne ich dann den KR???

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eddiefox 23.07.2017, 00:20
@Recall09

Nein, es macht nichts, wenn ein paar x-Potenzen fehlen. Das hängt damit zusammen, dass die Reihe ∑ qⁿ für 0 < q < 1 konvergiert. Wenn dann ein paar  qⁿ "weniger" da sind, konvergiert sie erst recht.

In deinem Beispiel 2. ist a(n) = 1, also a(n+1) / a(n) = 1, also R = 1,

also konvergiert die Reihe ∑ (0.5x-1)ⁿ für |0.5x-1| < 1

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Recall09 23.07.2017, 00:30
@eddiefox

genau, dass dachte ich auch, ich habe die lösung bzzg. der 2 und da steht,dass die reihe für x = (0, 4 ) konvegiert, eigentlich müsste das doch für ( -1, 1 ) sein ?

danke!

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eddiefox 23.07.2017, 00:41
@Recall09

Mit den Betragsstrichen muss man ein bisschen aufpassen.

Eine Fallunterscheidung hilft oft:

a) ist 0.5x - 1 > 0 , dann gilt |0.5x-1| = 0.5x-1 und man kann die Ungleichung |0.5x-1| < 1 so schreiben:

0.5x - 1 < 1  <=>  0.5x < 2  <=>  x < 2/0.5 = 4

b) ist 0.5x -1 < 0, dann ist |0.5x-1| = 1 - 0.5x, und die Ungleichung
|0.5x-1| < 1 schreibt sich so:

1 - 0.5x < 1  <=>  0 < 0.5x   <=>  x > 0

Wir haben insgesamt also 0 < x < 4, also x ∈ ]0; 4[

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