Quadratwurzel von -1

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3 Antworten

Nochmal in Einzelschritten aufgelöst:

Als Ansatz nimmst du eine unbestimmte komplexe Zahl

a + bi

und quadrierst die.

(a+bi)² = a² -b² + 2abi.

Realteil: a² - b²
Imaginärteil: 2ab

Die soll gleich

-i = 0 + (-1) * i

Realteil: 0
Imaginärteil: -1

sein.

Damit die beiden Zahlen gleich sind, müssen beide Komponenten, der Realteil und der Imaginärteil gleich sein, Daraus erhälst die die beiden Gleichungen:

a²-b² = 0
2ab = -1

Die erste Gleichung hat zwei mögliche Lösungen, nämlich a = b und a=-b.

Aus a=b folgt

2a² = -1. dafür gibt es keine reellen Lösungen (und nur die interessieren für a und b)

Aus a=-b folgt

2a² = 1

also

a = √ (1/2) oder a = - √(1/2)

Damit sind

√ (1/2) - i √ (1/2) und -√ (1/2) + i √ (1/2)

die beiden Lösungen.

Eine andere, kürzere Möglichkeit, das zu berechnen, geht über die Polarkoordinaten. Hattet Ihr die schon?

(a,b)^2 = -i (a und b in R)

-> a^2 -b^2 = 0 und 2ab = - 1

-> a^2 = b^2 und ab = -1/2

-> a = -b und ab = -1/2

-> a = -1/sqrt(2) und b = 1/sqrt(2) oder andersrum.

Also +/- (1-i)/sqrt(2) sind die Lösungen.

0lli1234 07.11.2014, 00:59

Danke! :)

Aber woher weißt du das a^2 -b^2 = 0 und 2ab = - 1 ist?

Bzw warum a^2 = b^2?

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Ezares 07.11.2014, 01:00
@0lli1234

Nach Definition der Multikplikation in C, habe es halt nur als Gleichungssystem aufgeschrieben.

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0lli1234 07.11.2014, 01:23
@Ezares

Reicht es zu sagen dass wenn als Ergebniss -i rauskommt a^2 = b^2 sein muss da sonst ein quadratisches Ergebniss anstatt -i wäre?

Bzw das 2ab = -1 ist weiß ich da -i das Ergebnis ist?

LG

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FataMorgana2010 07.11.2014, 09:17
@0lli1234

Das entscheidende Argument ist der Koeffizientenvergleich von a²-b² +2abi und -i. Daraus folgt sowohl

a²-b² = 0

als auch

2ab = -1.

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Wenn mich nicht alles teuscht, geht es hierbei um die "Komplexen Zahlen" Das unmöglich hier zu erklähren, google das mal oder schau ob du in Youtube was findest :)

0lli1234 07.11.2014, 00:43

Naja ich kenn mich mit grundsätzlich mit den imaginären Zahlen aus aber mir fehlt hier ein Ansatz ^^

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