Quadratische Gleichung mit 2. Binomische Formel

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Gefragt ist die Methode der quadratischen Ergänzung.

-3x + 2 = 0; (1)

-2ab + b² = (a -b)² (zweite binomische Formel)

Um die zweite binomische Formel in (1) einzubauen, wird

  • x als das a der Formel aufgefasst

  • -3 als das Produkt -2b der Formel aufgefasst; dann ist -3 = -2b ⇔ 3/2 = b

  • b² = (3/2)² auf der l.S. dazugezählt und gleich wieder abgezogen, damit insgesamt 0 dazugezählt ist und die Gleichung erhalten bleibt. Dann hat (1) die neue Form:

x² - 2 x (3/2) + (3/2)² - (3/2)² + 2 = 0

Anwendung der binomischen Formel:

( x - 3/2 ) ² - (3/2)² + 2 = 0 ; | +(3/2)² = 9/4; | -(2 = 8/4)

( x - 3/2 ) ² = 1/4 ; | √; der Term in ( ) kann aber positiv oder negativ sein:

x - 3/2 = ± √ (1/4) = ± 1/2; | + 3/2

x = ± 1/2 + 3/2

es gibt also zwei Lösungen:

x1 = 3/2 + 1/2 = 4/2 = 2

x2 = 3/2 -1/2 = 2/2 = 1

wie bei pq-Formel auch.


Zusammenhang: Wenn du genau das Gleiche machst, aber statt von (1) von der Gleichung

x² - px + q = 0 (1)'

ausgehst, kommt genau die pq-Formel heraus.

Du willst ja eine Lösung in der Form (x + a)* (x + b) = 0 erhalten. Ausmultipliziert ergäbe das x² + (a+b) x + ab = 0. => a + b = -3 und a*b = 2. Jetzt kannst du einfach die Lösungen erraten: a = -2 und b = -1. D.h. du hast (x - 2) * (x - 1) = 0. Also sind die Nullstellen 2 und 1.

Das ist richtig, ist aber die Polynomdivision, hat überhaupt nichts mit binomischer Formel zu tun, was gefragt war!

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@UlrichNagel

Polynomdivision, weißt du überhaupt, was das ist?!

Die binomische Formel ist (x+a)*(x+b) = x² + ax + bx + ab = x² + (a+b) *x +ab.

Wenn man sich mal das und die Aufgabe anschaut findet man große Übereinstimmungen.

x² + (a+b) * x + ab = x² -3x + 2 soll sein.

Also ist a+b = -3 und a*b = 2. Der Rest steht oben.

Wo habe ich jetzt die Aufgabe ohne binomische Formel gelöst?

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@Ezares

Wie schon oben gesagt, als "Binomische Formeln" werden an der Schule meines Wissens nur die folgenden gelehrt:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a - b)² = a² - 2ab + b²
  3. (a + b)(a - b) = a² - b²

Das, was Du anwendest, kenne ich eher unter dem Namen "Satz von Vieta".

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@claushilbig

Ich weiß schon was der Satz von Vieta ist. Ich wollte es nur nicht in den Raum schmeißen, sondern anschaulich erklären, wenn ich auch die Grundlage der Binomischen Formel genutzt habe und nicht sie direkt.

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Damit die Binompotenz heraus kommt, musst du die quadratische Ergänzung machen. x² - 3x + 2 + 0,25 - 0,25
x² - 2 * 1,5 + 1,2² - 0,25
(x - 1,5)² - 0,25 Was das für einen Sinn machen soll, weis ich aber nicht!

Die beiden Werte in den Klammern müssen nicht gleich sein. Folglich führt dein "Lösungsweg" nur von der Lösung weg (da der Term komplizierter wurde).

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@Ezares

Er wollte die 2. binomische Formel, in die ich seine Funktion umgeformt habe. Sie führt aber nicht zur Lösung, was ich vermerkt habe!

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@UlrichNagel

Die zweite binomische Formel ist allgemein (x - a) * (x-b) = x² - ax - bx +ab.

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@Ezares

Also, ich kenne unter 2. BiFo nur (a - b)² = a² - 2ab + b² ...

Aber mit Deiner allgemeineren Form kann man tatsächlich die gegebene Gleichung schön faktorisieren und dann lösen:

x² - 3x + 2 = x² - 1x - 2x + 1*2 = (x - 1) * (x - 2) = 0

Nach der regel, dass ein Produkt immer dann 0 ist, wenn (mindestens) einer der Faktoren 0 ist, muss gelten (x - 1) = 0 oder (x - 2) = 0, und damit ergibt sich x = 1 oder x = 2.

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