Quadratische gleichung auflösen aber wie?

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4 Antworten

Ich kann mir die pq-Formel nicht gut merken, vielleicht, weil man sie nicht so rhythmisch aussprechen kann wie die rechte Seite der binomischen Formel:
"Ah quadrat' plus zwei ahbeh' plus beh
quadrat."
Diese wird mir allerdings helfen die Formel herzuleiten/b>:
Die quadratische Gleichung habe ich auf die Form
x² + px + q = 0
gebracht und denke unwillkürlich an
a² + 2ab + b² = (a + b)² bzw.
x² + 2xb + b² = (x + b)²,
Wodurch ich nach Wurzel ziehen nur noch eine Potenz von x dastehen hätte, nämlich die erste. Natürlich ist b = p/2.
Wenn ich nicht bereits Glück habe, weil
q = (p/2)² = p²/4
ist, muss ich q erst auf die andere Seite schaffen und erhalte
x² + px = –q,
um anschließend p²/4 als Quadratische Ergänzung auf beiden Seiten zu addieren und dadurch
x² + 2(p/2)x +(p/2)² = (x + p/2)² = p²/4 – q
zu erhalten. Es gibt 2 Lösungen, die mit etwas Glück auch reell sind, nämlich
x + p/2 = ± √{p²/4 – q} und damit
x = p/2 ± √{p²/4 – q}
zu bekommen.
Hier ist offensichtlich p/2 = –3, und die Ergänzung +9, sodass am Ende
x = –3 ± √34
da steht. √34 ist etwas weniger als 6, etwas genauer gesagt etwas weniger als 5 5/6 und natürlich irrational.
--
Hätte da –25 statt +25 gestanden, wäre die Lösung komplexwertig, aber nicht so krumm gewesen, nämlich
–3 ± 4i. Cardano soll die "Kunst-Zahl i" (Prof. Hermann Schulz: Physik mit Bleistift) mit i² = –1 im 16. Jhd. als ein "wir tun mal so, als gäbe es das" eingeführt haben, um auf dem Weg zu einer Lösung für Gleichungen dritten Grades weiterreichen zu können - die er mit diesem Trick reell lösen konnte. Sie erweist sich überhaupt als ungemein nützlich und sogar als unentbehrlich. Hier brauchen wir sie nicht.

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Für eine Gleichung der Form ax²+bx+c musst du entweder die PQ-Formel oder die Mitternachtsformel verwenden. Die Formeln müsstest du bei Google finden, falls du sie nicht weißt.

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Lösungsformel für die Normalform

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x²-6x-25 = 0

Bis hierhin war alles richtig.

Du hast nun eine quadratische Gleichung der Form x²+px+q=0

Um diese zu lösen, nimmst du die P/Q-Formel.

Sie lautet:

x=-p/2+-Wurzel aus([p/2]²-q)

Du erhältst fast immer zwei Lösungen. in deinem Fall sind das:

x1=8.83095189

x2=-2.83095189

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Kommentar von SirAskAlot45
04.04.2016, 19:22

achhjaaa die p/q formel da war ja was :D
 eine frage hät ich da noch ist es relevant zu wissen was p und was q ist ? was beschreiben diese buchstaben und müssen sie genauso inder reihenfolge da stehen ?

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Kommentar von Pr1meT1me
04.04.2016, 19:23

6x --> p =6 und q= -25

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