Quadratische Funktionen - Potenzfunktionen

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1 Antwort

Also zuächsteinmal: Der Punkt, den du wahrscheinlich meinst, heißt Scheitelpunkt und nicht Schnittpunkt.

Desweiteren liegt dein Punkt S(2;1) nicht auf der Funktion, weil f(2) = -9 und nicht -1, du musst dich also beim Ansatz mit der binomischen Formel vertan haben.

Drittens rechnest du mit der p-q-Formel die Schnittpunkte mit der x-Achse aus. Das hast du zwar richtig gemacht, bringt dir nur nicht viel. Der Trugschluss, der sich dort bildet ist, dass x1 und x2 einen Punkt ergeben. im IR^2 ergeben aber immer x und f(x) einen Punkt. Um die Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen) zu erhalten, müsstest du also einmal f(5) und einmal f(1) rechnen.

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Kommentar von Motton
05.07.2011, 20:29

Ok, danke. Kannst du mir vllt die Rechnung mit der Binomischen Formel vorrechnen? Wie es sich richtig gehört?

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Kommentar von Suboptimierer
05.07.2011, 20:39

Bei den Nullstellen ist der zweite x-Wert übrigens "-1"

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Kommentar von Suboptimierer
05.07.2011, 21:09

Du hast aber deinen x-Wert über die binomische Formel trotzdem richtig ausgerechnet. Wie oben erwähnt erhältst du deinen y Wert auch ganz einfach, indem du ihn in f(x) einsetzt. Ich würde dir generell empfehlen, immer eine Probe zu machen. Das kostet wirklich kaum Zeit.

Ein anderer Weg zum Scheitelpunkt führt über die Überlegung, dass die Tangente (Tangenten speziell bei quadratischen Funktionen Geraden, die die Funktion nur in einem Punkt berühren) am Scheitelpunkt waagerecht ist.

Wie bekommt man eine Tangente? Man nimmt zwei Punkte P1(x, f(x)) und P2(x+y, f(x+y)) der Funktion und zieht eine Gerade dadurch. Logischer Weise schneidet die Gerade genau in den ZWEI Punkten, man muss also die Punkte zueinander bewegen, das heißt den Abstand auf 0 reduzieren. Der Ansatz könnte wie folgt aussehen:

f(x)-f(x+y)       
-----------         ist die Steigung m der Geraden (f(x) = mx+b) (kannst du dir grafisch veranschaulichen.                                          
x-x-y             

  x² - 4x - 5 - ((x+y)² - 4x - 4y - 5)
= -----------------------------------    kommt her aus, wenn man schon einmal die Funktion einsetzt. Dann einfach weiterrechnen...
  -y

  (-2xy-y²  + 4y )
= ---------------    und schließlich ...
  -y

= 2x + y - 4 = 2x-4 wenn man y gegen 0 laufen lässt (also die Punkte ineinanderlaufen lässt).

Jetzt suchen wir den Punkt, an dem die Tangente waagerecht ist, also m = 2x-4 = 0 ist 2x-4=0 ist gleichbedeutend mit 2x=4 und x = 2. Da der Punkt DER gemeinsame Punkt mit f(x) ist, setzen wir einfach ein und erhalten f(2) = 2² - 8 - 5 = -9. Tadaa: der Scheitelpunkt liegt bei S(2; -9)

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Kommentar von Suboptimierer
05.07.2011, 22:13

Oh, jetzt ist aber eine Entschuldigung fällig. Ich habe den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen! Hoffentlich ist es noch nicht zu spät.

Du hast mit der p-q-Formel doch schon zwei gegenüberliegende Werte, nämlich die Nullstellen errechnet. Aufgrund der Symmetrieeigenschaften und der Tatsache, dass die Symmetrieachse genau durch den Scheitelpunkt geht, hättest du einfach (x1 + x2) / 2 teilen müssen, um die x-Stelle für den Scheitelpunkt herauszubekommen: (-1+5)/2 = 2, f(2) = -9. Das wäre der schnellste Weg gewesen! Sorry.

Da man die Nullstellen mit geübten Auge Dank Viéta direkt aus der Gleichung f(x) = x² - 4x - 5 ablesen kann, kann man schon eine indirekte Formel für die Scheitelpunktstelle angeben:

Viéta: -(x1+x2) = p und x1x2 = q Was haben 4 und 5 gemeinsam, gibt es zwei Zahlen die in der Summe etwas mit 4 und als Produkt etwas mit 5 ergeben? Klare Sache, es muss etwas mit 1 und 5 herauskommen. Da wir wissen, dass p=-4 und -p=x1+x2 ist, also 4 = x1+x2 ist und xs = (x1+x2)/2 ist, folgt daraus, dass xs = -p/2 = 4/2 = 2 ist. Du kannst direkt aus x² - 4x - 5 die x-Stelle des Scheitelpunkts ablesen. Du musst nur p durch 2 teilen und das Vorzeichen umkehren.

Puhh, hoffentlich bin ich nicht zu spät, oh weia.

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