Quadratische Funktionen / Nullstellengleichung

Herleitung - (Mathe, Mathematik, Zahlen)

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das ist völlig richtig. du musst noch ne fall-unterscheidung machen.

jemand hier behauptete, dass du die wurzel einer negativen zahl gezogen hättest. das stimmt nicht. du hast die wurzel einer unbekannten zahl gezogen, die sowohl negativ als auch positiv sein kann.

daher die fallunterscheidung: hast du die parabel in scheitelpunktform gegeben, siehst du also sofort an dem vorzeichen von c, ob sie überhaupt lösbar ist !!

dein c muss also ein negatives vorzeichen haben, damit "-c" positiv ist. ansonsten völlig richtig

Das einzige, was ich nicht verstehe ist, warum du auf der linken Seite ± √ geschrieben hast und auf der rechten Seite nicht. Das ist nicht einheitlich.

das ist auch nicht nötig auf beiden Seiten. es fallen sowieso zwei Fälle immer zusammen und bleiben zwei übrig

(beide seiten negativ oder beide positiv - 1. Fall;
links positiv, rechts negativ oder umgekehrt, ist dasselbe - 2. Fall)

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@bitspalter

Das verstehe ich noch nicht ganz.

Lass mich die Situation vereinfachen. Anhand derer möchte ich dich bitten, mir kurz zu erklären, welche Fälle zusammenlegbar sind.

±3 = ±2 + a

  1. +3 = +2 + a => a = 1
  2. +3 = -2 + a => a = 5
  3. -3 = +2 + a => a = -5
  4. -3 = -2 + a => a = -1

Es gibt also zumindest Situationen, bei denen es nicht egal ist, ob auf der rechten Seite ± oder nur + steht.

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@Suboptimierer

wenn man auf beiden Seiten Wurzel zieht, dann hätte man in den Beispielen von dir:

+3 = +(2+a)

+3 = -(2+a)

-3 = +(2+a)

-3 = -(2+a)

es kann nicht so ein a irgendwie unabhängig vom rest abseits rumhängen, da das mal mit unter der Wurzel war... und in diesem Fall, sind der erste und der vierte bzw. der zweite und der dritte Fall dieselben. wenn du dich auch noch an die p-q-Formel erinnerst, genauer an seine Herleitung (die quadratische Ergänzung): da betrachtet man auch nur 2 Fälle statt 4, da dort genauso jeweils zwei zusammenfallen

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@bitspalter

Okey, überzeugt. Das klingt plausibel.

Bei der p-q-Formel-Herleitung gelangt man irgendwann zu dem Punkt

(x + p/2)² = (p/2)² - q

Ich dachte immer, man hat auf der linken Seite deswegen immer auf ± verzichtet, weil Wurzel und Quadrat sich direkt aufheben. Genauer steht da aber zunächst

±√ (x + p/2)² = ± √ ((p/2)² - q)

Hier greift genau das Argument, dass du angeführt hast. Wenn man beide Gleichungsseiten *(-1), erhält man genau den Vorzeichenwechsel. Dementsprechend gibt es nur zwei Fälle.

Alles klar, danke!

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@Suboptimierer

hmmm... ich weiß, dass ich da oben auch etwas schlampig argumentiert habe. aber wenn man das ganz-ganz-gaaanz genau nimmt: Wurzel aus einer Zahl ist immer positiv.
dagegen ist die Wurzel aus x² als |x| (Betrag von x) definiert, d.h. hier kommt gerade die Fallunterscheidung ins Spiel. Aber das sind so Feinheiten, mit denen man einem auf der Uni das Hirn zermartert... auf Schulniveau dürfte das ganze oben völlig ausreichend sein.

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A. Nach der zweite Zeile der linken Seite des Zettels ist eine Fallunterscheidung erforderlich:

Fall 1: a und e haben unterschiedliches Vorzeichen

Dann lässt sich auf beiden Seiten die Wurzel ziehen und weiterrechnen.

Leider ist dann das Minuszeichen aber ab der dritten Zeile verschwunden, und die restlichen Zeilen sind nur für e=0 definiert. Die gefundene Formel ist also (im mathematischen Sinne) fast immer falsch. Die richtige Formel für die Nullstellen ist

x1,2 = +- (-e)^(1/2) / a^(1/2) -d = +- (-e/a)^(1/2) -d

Fall 2: a und e haben gleiches Vorzeichen.

Dann ist für a=e=0 die ganze Parabel eine einzige Nullstelle (für bel. x), oder aber es gibt keine keine reelle Nullstelle.

B. Was die rechte Spalte des Zettels bedeuten soll, ist mir nicht klar.

psychironiker

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