Quadratische Ergänzung/Gleichung?

Beispiel  - (Schule, Mathe, Parabel)

5 Antworten

Zu 2):

Ja, +2-2 würde wegfallen. Das ist doch der Sinn an der Sache; du änderst nichts an der Gleichung, aber das hilft dir in 3).


Zu 3): x²+4x+2² wird zu (x+2)² (zweite binomische Formeln, du musst alle drei! kennen), -2²-60 wird zu -64. 

Die eine 2 darf in den coolen Klammerclub, die andere darf nicht rein und muss draußen warten, so kann man es sich etwas amüsanter merken.


Zu 4): Da kommt dann die dritte binomische Formel ins Spiel. 

(a+b)*(a-b) = a²-b²

(x+2)² ist dabei a², -64 ist b². Die Formel wird sozusagen rückwärts angewendet.


Bei 5) werden die Klammern halt zusammengefasst, also alles mit Plus/Minus miteinander verrechnet. Dann folgt der Satz vom Nullprodukt:

Ein Produkt von Faktoren ist dann Null, wenn ein Faktor Null ist

Die Faktoren sind hier x+10 und x-6, es folgt also:

x+10=0 --> x1=-10

x-6=0    --->x=6



Es geht aber auch einfacher und schneller, wie ich finde. Wir fangen im Schritt 3 an:

(x+2)²-64=0 | +64

(x+2)²=64 | Wurzel

x+2=±8   (Wurzel liefert zwei Ergebnisse!)     | -2

x=±8-2

--> x1=6 , x2=-10

Kann man auch gleich mit der schnelleren Methode rechnen? (Die du am Ende geschrieben hast) Weil ich die irgendwie viel besser verstehe XD oder braucht mal den ganzen Anfang mit dem Binomischen Formeln und so? 🤔😰

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@christina3456

Wenn es deine Lehrerim fordert dann ja sont kannst du die andere Variante uach verwenden außer es ist in den Angaben danach gefragz

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@christina3456

Bis zum zweiten Schritt kommst du wohl nicht drum herum, dir die binomischen Formel zunutze zu machen.


Allgemein hier eine kleine "Anleitung":

1. Den Faktor vor x suchen (hier 4)

2. Halbieren, dann quadrieren (hier 2²)

3. Addieren, dann abziehen (2²-2²)

4. Erste oder zweite binomische Formel (x²+4x+2² --> (x+2)² )


Die erste binomische Formel nimmst du, wenn vor dem x ein positiver Faktor steht, die zweite bei einem negativen.

Ab dann kannst du vorfahren, wie du es leichter findest, wir haben es immer mit der Wurzel gemacht.

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Mir ist gerade noch was aufgefallen: wie kommt man von der 2) wo 60 steht, plötzlich bei 3) auf 64? 😫

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Aber wenn man bei der 2) -2^2 -60 rechnet, dann ist ja (auch bei der 2)) 4x+2^2 ... wäre dann in der Klammer nicht (x+16)^2, weil man dann ja 4x+2^2 rechnen müsste? Oder...? 😩

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@christina3456

Binomische Formeln (verstehen) lernen, sonst gehst du ab hier in Mathe unter!


Links steht praktisch x+4x+4, richtig?

Das ist die erste binomische Formel zu (x+2)², genau deshalb macht man das doch alles.


Du hast x² ohne Vorfaktor, ein x mit einem Vorfaktor, und eine Restzahl, welche die quadrierte Hälfte des Vorfaktors ist und das dürfte dir aus (a+b)=a²+2ab+b² bekannt vorkommen.


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Also wenn ich jetzt x^2-6x+9-9=0 hätte würde rauskommen (x+9)^2?

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@christina3456

Nein, wieso?

Zweite binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²

a² ist hier x², daraus folgt a=x.

b² ist hier +9, daraus folgt b=3

-2ab somit -2*3*x = -6x


Du kennst also alle Einzelfaktoren der Formel, und kannst einsetzen ; (a-b)² wird zu (x-3)².  (a und b einfach eingesetzt)

x²-6x+9-9=0 wird dann zu (x-3)²-9  (die -9 darf nicht in den Klammerclub, die ist zu negativ drauf ---> so merken! Die negative Zahl bleibt immer außerhalb der Klammer stehen!) 


Und wenn du es dir ganz anders merken willst:

x links in die Klammer, rechts kommt dann die Wurzel aus dem letzten positiven Teil deiner Gleichung ---> in dem Beispiel eben ist rechts 3, das ist die Wurzel aus 9

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Bei der Nummer 1 erkennst du das man das x nicht einfach mit umstellen heraus bekommen kann weil ein x Quadrat und ein einfaches x vorhanden ist 

Deshlab kannst du es mit umstellen nicht lösen wenn der fall auftritt nimmst du die Zahl vorm x nicht die vorm x Quadrat in diesem Fall die 4 davon nimmst dann immer die hälfte in diesem Fall 2 und stellst sie zum Quadrat und weil du nicht einfach es dazu schreiben kann schreibst du dahinter einfach wieder -2 Quadtrat wei so würde es 0 ergeben

Bei 3 erkennst du das es sich hier um ein binom handelt nämlich um das erste den in einem binom nimmt man die erste Zahl zum Quadrat und die zweite Zahl zum Quadrat und  in die mitte schreibt man die erste zahl plus die zweite mal 2 

Wenn du also das binom erkannt hast schreibst du es hin wie bei 3 es gemacht wurde dann bleibt dir -2 zum Quadrat und -60 übrig unf fasst diese einfach zusammen

Auf drei zu 4 musst du erkennen ob hinter dem binom eine Zahl steht dessen wurzel man ohne komplizierzr komma zahlen ziehen kann also keine zahl die unendlich lang ist in diesem fall 64 ist das der fall den 8•8=64 wenn du das binom ausschreibst also kicht zum Quadrat sondern die klammer zwei mal neben einander und ein mal dazwischen weil das ja das selbe ist wie zum Quadrat und dann setz du die wurzel die bei deiner Quadratzahl raus kommt in beide klammer und wenn du in jeide plus einsetzen würdest würde ja +64 rauskommen also muss in eine klammer -8 

Und jetzt kannst du ohne Probleme die x werte herraus bekommen bei weiteren fragen frag einfach ist nämlicj schwer schrifftlich zu erklären weil man nicht weiß wie viel Grundwissen vorhanden ist

Bei eine (quadratischen) Ergänzung fügst du eine Zahl hinzu aber ziehst diese auch wieder ab, damit deine Gleichung eben noch erfüllt ist. Sonst hättest du einfach zu viel bzw zu wenig. Das ist in dem Beispiel dein 2^2: 

+2^2 - 2^2 = 0 Deine Gleichung verändert sich nicht.

dDer Sinn dahinter ist, dass du nun ein Teil deiner Gleichung mit Hilfe der Binomischen Formel zusammenfassen/vereinfachen kannst.

Die 64 wurde in einen quadratischen Term "gezogen" Also was gibt multipliziert mit sich selbst 64? 8x8 = 64 bzw Wurzel von 64.

So kannst du das relativ leicht lösen


Ich hab gehört dass (p:2)^2 die Quadratische Ergänzung ist aber diese ganze Rechnung auch ...

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@christina3456

ergänzen kannst du was du willst, nur sollte es was bringen :P

In deinem Beispiel ist es halt die 2^2 =4 dass du deine binomische Formel hast. ( x^2 + 4x +4) 

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Oki 👍 Danke! 😁

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a / 40 = 60 - b / 60 I * 60

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Nun habe ich b in die Gleichung A = a * b eingefügt und weitergerechnet:

A = a*b

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A = -6/4*a² + 60a I : (- 6/4)

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