Quadratische Ergänzung? Hilfe! Lösen

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5 Antworten

Guck mal ob du die Aufgabe richtig abgeschrieben hast. Der Bogen einer parabelförmigen Hängebrücke ist eine nach unten geöffnete Parabel. Also muss ein negatives Vorzeichen her. Angenommen du hast das vergessen und es heißt richtig:

f(x) = -0,02x²+1,4x-12

Scheitelpunktsform: 0,02 ausklammern:

f(x) = -0,02 ( x² - 70x + 600)

Quadratische Ergänzung ist 70/2

f(x) = -0,02 ( (x² - 70x + 35²) + 600 - 35²)

Binomische Formel:

f(x) = -0,02 ( (x - 35)² -625)

Hinten wieder ausmultiplizieren:

f(x) = -0,02 (x-35)² + 12,5

Der Scheitelpunkt ist S(35|12,5). Die Höhe der Brücke (= des Bogens) beträgt 12,50 (Meter vermutlich, könnte auch yard oder sonst was sein, ist ja nix angegeben)

Ich habe nicht den Fehler gemacht :D Die Mathe Seite war es :D in den Lösungen ist ein - vor den 0,02 :) trotzdem komme ich nicht auf das Ergebnis 12,5 :/

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@Mskosima

Da ich den Fehler jetzt berücksichtigt habe kommt bei mir am ende -625 raus, da ich die :(-0,02) schon am Anfang benutzt habe

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@Mskosima

Die -0,02 darfst du nicht einfach unter den Tisch fallen lassen, die steht in der Beispiellösung vor der eckigen Klammer. Am Ende nimmst du noch -625 * -0,02 und kommst auf 12,5

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Bei einer Hängebrücke wird wohl der Scheitelpunkt im Tiefpunkt liegen, sie daher nach oben geöffnet und der lim positiv sein. Insofern sollte +0,02x²+1,4x-12 stimmen.

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@kainAutor

Du hast Recht, eine Hängebrücke ist etwas anderes.

Anscheinend ist sowas wie die Fehmarnsundbrücke (s. Wikipedia) gemeint, bei der die Fahrbahn an einem parabelförmigen Bogen aufgehängt ist. Bogenbrücke wäre hier wohl der richtige Ausdruck, eine Hängebrücke ist sowas wie die Golden Gate Bridge.

Schaut man sich die Originalseite bei cornelsen an, wird es klarer. Da ist auch der Druckfehler. In der Beispiellösung ist es dann aber so, wie ich es gemacht habe. http://www.mathe-trainer.de/Klasse9/Quadratische_Funktionen/Block11/Aufgaben.htm

Bei einer richtigen Hängebrücke ergäbe die Aufgabe insgesamt keinen Sinn. Da wäre die Höhe die Höhe der Pfeiler, die man aber aus der Aufgabe nicht ableiten kann. Der Scheitelpunkt der Hängeseile gibt auch nicht die Höhe der Straße wieder. Und man kann die Hängeseile nicht durch eine Parabel beschreiben, sondern durch die sog. Kettenlinie.

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@Schachpapa

Ich bin von ner klassischen Hängebrücke ausgegangen, da hätte das Vorzeichen Sinn gemacht.

Naja, egal. Geht doch nix über ne klare Aufgabenstellung ^^

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Diese Aufgabe lässt sich schwer lösen, denn die Straße einer Hängebrücke verläuft unter dem Scheitelpunkt der Parabel (siehe Wiki: Hängebrücke). Aus der Formel lässt sich nicht schließen, wie tief unter dem Fußpunkt der Parabel die Straße verläuft.

Falls du einfach nur den Abstand des Scheitelpunkts zur x-Achse berechnen sollst, musst du einfach die Ableitung Nullsetzen (0,04x + 1,4 = 0) und das Ergebnis in f(x) einsetzen.

Bekomme ich nicht so die Nullstellen her raus? Also da wo die Parabel die x-Achse schneidet.

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@Mskosima

Nein, die Nullstellen bekommst du, wenn du f(x) = 0 setzt. Die Extrempunkte (hier Tiefpunkt) bekommst du, wenn du f'(x) = 0 setzt. Dein Kommentar sagt, mir, dass ihr euch noch nicht mit Ableitungen beschäftigt habt. In dem Fall musst du f(x) in die Scheitelpunktform bringen oder beide Nullstellen berechnen Der Tiefpunkt liegt genau zwischen den Nullstellen S( (x₀₂-x₀₁)/2 | f((x₀₂-x₀₁)/2) )

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@Suboptimierer

Oh, mir fällt gerade auf, ich glaube, da fehlt noch etwas:

S( x₀₁+(x₀₂-x₀₁)/2 | f(x₀₁+(x₀₂-x₀₁)/2) )

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Ich weiß das man erst :2 machen muss

Du meinst wahrscheinlich :0,02, aber Vorsicht, wenn du auf beiden Seitern durch 0,02 teilst steht links f(x)/0,02 und nicht f(x).

Die Aufgabe selbst (Berechne, wie hoch die Brücke ist) lässt sich meiner Meinug nach überhaupt nicht Lösen, da die Aufgabenstellung nicht eindeutig genug ist.

Zur quadratischen Ergänzung:

x²+70x-600 = x² + 2 * 35 * x - 600 = x² + 2 * 35 * x +35² -35² - 600 =
(x² + 2 * 35 * x +35²) -35² - 600 ( binomische Formel benutzen )

= (x²+35)² -35²-600

Und wie geht man da weiter vor? Ich will ja die Höhe der Brücke wissen und da muss man ja den Scheitelpunkt her raus finden. ich dachte man mach :35² und nicht -35² Mathe ist sowieso Kompliziert :)

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@Mskosima
ich dachte man mach :35²

Wozu?

und nicht -35²

Ich "mache" auch nicht einfach -35², sondern ergänze den Term um 35²-35². Der Trick dabei ist, dass 35²-35² = 0 ist, deshalb kann man das einfach hinzufügen. Danach fasse ich einen Teil des Terms gemäß der 1.binomischen Formel zusammen.

Und wie geht man da weiter vor? Ich will ja die Höhe der Brücke wissen und da muss man ja den Scheitelpunkt her raus finden

Was mit "Höhe der Brücke" gemeint ist ist ja noch nicht einmal klar. Wie ich bereits erwähnt habe kann man die Aufgabe anhand der gegebenen Daten nicht eindeutig lösen.

Die Scheitelpunktform erreicht man durch quadratische Ergänzung so wie von mir in meiner Antwort bespielhaft dargestellt.

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x² + 70x - 600 = 0

x1/2 = -45 +- wurzel(45² +600)

Damit berechnest du allerdings nur die Nullpunkte der Funktion. Um die "Spitze der Parabel" zu finden würde ich die Scheitelpunktsform bilden oder die Grundfunktion ableiten und das Minima suchen.

Und wie Bildet man die Scheitelpunktform, das ist es ja was ich suche :)

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@Mskosima

f(x) = x² + 70x - 600 |+35² -35²

f(x) = x² + 70x +35² -600 -35² = (x+35)² - 1825

SP(-35/-1825)

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@Mskosima

Die SP-Form lautet f(x) = (x - d)² + e. Dabei gilt SP(d/e).

Der Trick ist folgender:

Du wilst den Term x² + 70x als Binom formulieren (x-d)². Hierzu musst dem Term den Wert (70/2)² = 35² hinzufügen. x² + 70x + 35² = (x + 35)²

Du kannst aber nicht einfach "+35²" rechnen, da du sonst ja den Wert der Gleichung veränderst. Derwegen musst du im selben Zug "-35²" rechnen, nur dass das halt außerhalb der Klammer stehen bleibt = -600 - 35²

Das was dann außerhalb der Klammer steht ist die y-Koordinate deines Scheitelpunktes. Und die Zahl innerhalb der Klammer (mit Vorzeichenwechsel) die x-Koordinate.

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35 nicht 45 ... <.<

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Wenn man mit Quadratischer Ergänzung und Scheitelpunktsform arbeitet, hat man normalerweise weder die PQ-Formel noch die Ableitung durchgenommen.

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@Schachpapa

Musste ja erstmal abtasten, wo sie steht. Deswegen war meine Aussage ja "SP-Form oder Ableitung".

Die p,q-Formel ist ja nur die quad. Ergänzung auf den Punkt gebracht. Aber da hast du Recht: War faulheit das so zu schreiben.

Aber hey: Ich habe heut schon 70/2 = 45 gerechnet also: Mea maxima culpa.

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---> x + 70x -600

=( x +35 ) ² - ( + 35 )² - 600

= ( x +35 ) ² - 1225 - 600

= ( x +35) ² - 1825 !

Wie kommt man auf das Minus vor den 1225? :)

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