Punktweise Konvergenz gegen eine stetige Funktion?

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3 Antworten

Nein, beispielsweise kann man recht einfach Funktionenfolgen bauen, die Punktweise aber nicht gleichmäßig gegen die (stetige) 0-Funktion konvergieren.

iokii 12.01.2016, 19:42

Um es genauer zu sagen : Die Funktionenfolge mit 

f_n(x)=0 für x<n und f_n(x)=1 für x>=n hat diese Eigenschaft.

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So weit ich mich erinnern kann, gilt nur das Umgekehrte: Eine gleichmäßig konvergente Funktionenfolge ist auch punktweise konvergent, aber nicht umgekehrt.

odorina 12.01.2016, 19:39

falls die punktweise konvergente Folge gegen einer stetigen Funktion konvergiert, dann sollte das heißen, dass die Funktionfolge gleichmäßig konvergiert?!

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PhotonX 12.01.2016, 19:44
@odorina

Das weiß ich leider nicht, konnte auf die Schnelle nur die Aussage finden, dass der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge von stetigen Funktionen auch stetig ist. Wenn also der Grenzwert stetig ist, dann hat die Funktionenfolge eine Chance gleichmäßig dagegen zu konvergieren, ob sie das auch muss, weiß ich leider nicht...

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im Bereich Analyis 1-3 ist Wikipedia sehr gut.

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