Produktregel bei Inetegralen anhand der Komponentendarstellung eines Vektors auszeigen?

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4 Antworten

Hallo,

Für das Kreuzprodukt (a x b)
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Schreiweise: a=(a1;a2;a3),

Die Ableitung einer Vektorfunktion

a(t)=(a1(t);a2(t);a3(t)) geschieht komponentenweise:

a':=d/dt(a)=((da1/dt;(da2/dt;(da3/dt)=(a1';a2';a3')

Zur Erinnerung:

a x b = (a2b3-a3b2;a3b1-a1b3;a1b2-a2b1)

Nun braucht man nur die Komponenten  von

[(a' x b) + (a x b')] mit der Ableitung der

Komponenten von (a x b) zu vergleichen.

Komponenten von (a' x b): (ai'bj - aj'bi) (i≠j) (1)
Komponenten von (a x b'): (ai bj'- ajbi') (i≠j) (2)

Komponenten von (a' x b) + (a x b') : (1)+(2) ->

(ai'bj - aj'bi) + (ai bj'- ajbi') (3)

Komponenten von (a x b): (ai bj - aj bi) (i≠j)

Die Ableitung der Komponenten von (a x b):

(ai bj - aj bi)' =

(ai'bj + aibj' - (aj'bi + ajbi') (i≠j)

= (Umordnen)

(ai'bj - aj'bi) + (ai bj' - ajbi') (i≠j) (4)

Man sieht, dass die Komponenten von (a' x b) + (a x b')
mit der Ableitung der Komponenten von (a x b)
übereinstimmen (Vergleiche (3) mi (4).

Für das Skalarprodukt zweier Vektoren ähnlich, nur einfacher.

Gruss

P.S. das " hoch t " bei  a = (a1;a2;a3) ͭ   habe ich mir gespart.

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Kommentar von eddiefox
08.11.2016, 09:32

Eine Zeile oben habe ich nicht sauber geschrieben: 3 offene
Klammern nicht wieder geschlossen. Besser weglassen:

a':=d/dt(a)=((da1/dt;(da2/dt;(da3/dt)=(a1';a2';a3')

ersetzen durch

a':=d/dt(a)=(da1/dt;da2/dt;da3/dt)=(a1';a2';a3')
1

Wenn man die Vektoren a(t) und b(t) multipliziert, erhält man eine Summe von Produkten der einzelnen Komponenten (Funktionen).

Dieser Term kann als neue Funktion g(t) betrachtet werden. Leitet man g(t) mit der Produktregel ab, kann man das Ergebnis so umformen, dass man den Ausdruck a'(t)*b(t) + a(t)*b'(t) erhält.

Das gilt ebenso für das Kreuzprodukt.

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Von Integralen steht da nichts, deshalb hat mich die Fragestellung etwas irritiert. Es werden nur Vektoren abgeleitet.

Verwenden kannst Du meines Erachtens die Produktregel für skalare Funktionen. So ist beispielsweise

(d/dt)a₁b₁ = ȧ₁b₁ + a₁ḃ₁,

was einen Summanden des Skalarprodukts

‹a|b› = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

ausmacht. Das Kreuzprodukt hat 3 Komponenten, beginnend mit

(|a› × |b›)₁ = a₂b₃ – a₃b₂,

und hier gilt z.B.

(d/dt)a₂b₃ = ȧ₂b₃ + a₂ḃ₃.

Ableitung einer Summe oder Differenz ist Summe oder Differenz der Ableitungen, und auch Komponenten eines Vektors stören einander beim Ableiten nicht.

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Die 1-dimensionale Produktregel darfst du benutzen.

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