Problemlöseaufgabe Spielsalon

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2 Antworten

Es gibt vier mögliche Spielausgänge, nämlich:

Die gesetzte Zahl erscheint

1) auf keinem der Würfel

2) auf genau einem der Würfel

3) auf genau zweien der Würfel

4) auf allen dreien der Würfel.

.

Aus Sicht des Casinos beträgt der Gewinn xi des Spiels

x1: 1 Franken

x2: - 1 Franken

x3: - 2 Franken

x4: - 4 Franken

.

Die Wahrscheinlichkeit Pi für das Eintreten des Ereignisses xi ist (Binomialverteilung):

P ( x1 ) = ( 3 über 0 ) * (1 / 6 ) ^ 0 * ( 5 / 6 ) ^ 3 = 1 * 1 * ( 125 / 6 ) = 125 / 216

P ( x2 ) = ( 3 über 1 ) * (1 / 6 ) ^ 1 * ( 5 / 6 ) ^ 2 = 3 * ( 1 / 6 ) * ( 25 / 6 ) = 75 / 216

P ( x3 ) = ( 3 über 2 ) * (1 / 6 ) ^ 2 * ( 5 / 6 ) ^ 1 = 3 * ( 1 / 36 ) * ( 5 / 6 ) = 15 / 216

P ( x4 ) = ( 3 über 3 ) * (1 / 6 ) ^ 3 * ( 5 / 6 ) ^ 0 = 1 * ( 1 / 216 ) * 1 = 1 / 216

.

Der Erwartungswert E1 je Spiel beträgt nun aus Sicht des Casinos:

E1 = (Summe i = 1 bis 4 ) über ( xi * P ( xi ) )

= 1 * ( 125 / 216 ) + ( - 1 ) * ( 75 / 216 ) + ( - 2 ) * ( 15 / 216 ) + ( - 4 ) * ( 1 / 216 )

= ( 125 / 216 ) - 75 / 216 - ( 30 / 216 ) - ( 4 / 216 )

= 16 / 216

= 0,(Periode) 074 Euro

also etwas mehr als 7 Rappen Gewinn (pro Spiel).

.

Bei einer Million Spielen ergibt sich daher ein Erwartungswert E2 in Höhe von:

E2 = 1.000.000 * 0,(Periode) 074 Franken = 74074,(Periode)074 Franken

also ein Gewinn für das Casino.

E(x) = -1* 125 + 1 * 1* 3* 1/6 * 5/6)^2 +2 *3 (1/6)^2 * 5/6 +3 * (1/6)^3

Verlust pro Spiel

JotEs 24.06.2011, 10:47

Der erste Summand muss

-- 1 * ( 125 / 216 )

lauten und der letzte Summand muss

4 * ( 1 / 6 ) ^ 3

lauten (so interpretiere ich jedenfalls die Aufgabenstellung). Außerdem ist das die Betrachtung aus Sicht eines Spielers. Das Casino hingegen darf einen Gewinn erwarten (siehe meinen Beitrag):

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