Probleme mit Wurzel

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4 Antworten

Ich bin inzwischen einen Schritt weiter:

Im Ausdruck sqrt (a +ib) soll (-1= i^2) im Radikanden ausgeklammert und vor die Wurzel gezogen werden ( = teilweises Radizieren). Dann gilt:

Wenn NACH dem Ausklammern der Koeffizient b positiv ist (das ist in deinem Beispiel der Fall), dann kommt -i vor die Wurzel. Deine Umformung war also fast richtig - bis auf das Vorzeichen. Wenn dann der Koeffizient b negativ ist, kommt +i vor die Wurzel. (Wenn er Null ist, war der Radikand reell, und es ist eh klar, was passiert.)

Ein formaler Beweis kann bei Bedarf nachgeliefert werden. Idee des Beweises ist die Darstellung der komplexen Zahl mit und ohne den Faktor (-1) im Radikanden in Polarform ("Polarform" findest du in Wikipedia unter "komplexe Zahl") und die Unterscheidung von vier Fällen je nach Größe des Winkels x im Exponenten der Polarform. Daraus geht dann hervor, in welchen Fällen Wurzelziehen einfach eine Halbierung von x bedeutet, und in welchen sich danach zusätzlich das Vorzeichen der komplexen Zahl ändert ( = Punktspiegelung im Ursprung). Der Beweisaufbau ist etwas bürokratisch (tabellarische Aufstellung der Fälle und so), scheint aber zu funktionieren.

psychironiker

WolframApha interpretiert i als imaginäre Einheit:
sqrt(-1)
i² = -1 -> das kann man nicht einfach vor die Wurzel verschieben

Willst Du mit Variablen rechnen, (verwende besser a statt i)?

Oder willst Du mit komplexen Zahlen rechnen -> also die Wurzel aus der komplexen Zahl: z= -1/3 -sqrt(2)/3 * i dann kommt nur wieder eine komplexe Zahl heraus:
sqrt( -1/3 -sqrt(2)/3 * i)
oder brauchst Du eine andere Schreibweise??
Oder willst Du wissen, wie man eine Wurzel aus einer komplexen Zahl zieht?
Es geht auch ein Polynom mit exaktem Ergebnis -> siehe Bild x4

Polynom mit komplexen Ergebnis - (Mathe, Mathematik, Wurzel)
hypergerd 09.12.2012, 21:22

Hinweis: sqrt(i² * a)=sqrt(a) * i nur, wenn a>0 ! a ist bei Dir aber eine komplexe Zahl
allg. wenn Du i im komplexen ausklammern willst:
sqrt( -1/3 -sqrt(2)/3 * i) = -i sqrt(-1/3-(i sqrt(2))/3) * i = -sqrt(1/3+(i sqrt(2))/3) * i
es wird also nur komplizierter...

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pjoengjaeng 09.12.2012, 22:07
@hypergerd

Ja, es geht um komplexe Zahlen. Ich wollte das Minus in der Wurzel ausklammern. So müsste man doch sqrt(-isqrt(2)/3-1/3) als sqrt(-1 (isqrt(2)/3+1/3)) schreiben können. Dann ersetzt man die -1 durch i² und man bekommt sqrt(i² (isqrt(2)/3+1/3)) = sqrt(i²) * sqrt((isqrt(2)/3+1/3)) = i*sqrt((isqrt(2)/3+1/3)). Nur irgendwo ist ein Fehler versteckt.

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1.Die Schwierigkeit rührt daher, dass immer zwei Quadratwurzeln eine komplexen Zahl existieren. Diese unterscheiden sich (wie bei positiven reellen Zahlen auch) genau um das Vorzeichen.

Um die Funktion "Quadrieren" umkehrbar zu machen, muss also immer eine der möglichen Wurzel als "erlaubter" Wert der Umkehrfunktion festgelegt werden. Bei positiven reellen Zahlen ist das die positive (definitionsgemäß ist sqrt(1) = 1, aber nicht sqrt(1) = -1, obwohl auch (-1)^2 = 1 ist). Im echt komplexen Fall ist entsprechend ausschließlich die positive Halbebene der Gaußschen Zahlenebene als Wertebereich (des Hauptzweigs) der Wurzelfunktion. Näheres in der Definition des Hauptzweiges im Abschnitt "Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen" des Wikipedia-Artikels "Quadratwurzel".

2.Deswegen kann es den Übergang zur "falschen" ( = nicht als solcher definierten) Quadratwurzel bedeuten, den Faktor i^2 als i vor die Wurzel zu ziehen. Einfaches Beispiel:

sqrt ( -i^2) = sqrt(1) = 1, aber:

i * sqrt(-1) = i^2 = -1 .

3.Nach Wolfram Alpha ist nun

a = sqrt(-i * sqrt(2)/3 -1/3) = +0,349 -0,674 * i , aber

a' = i * sqrt((i * sqrt(2)/3 +1/3)) = -0,349 +0,674 * i;

der Term a liegt in der positiven Halbebene, der Term a' = -a aber nicht.

4.Ich habe mir nicht abschließend überlegt, in welchem Fall also der Faktor (-1) = i^2 im Radikanden einer komplexen Wurzel "paradoxerweise" als -i vor die Wurzel gezogen werden muss. Dazu fehlt leider gerade die Zeit; ich freue mich auf eine Antwort.

psychironiker

pjoengjaeng 10.12.2012, 16:54

Danke dein Kommentar hat mir sehr geholfen. Leider bin ich noch Schüler und so habe ich ein noch sehr unvollständiges Bild von der Mathematik, doch ich möchte mich bemühen es immer weiter auszumalen.

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Sorry, ich habe vorhin ein falsches Bild hinzugefügt. Hier nun das Richtige.

Hier das richtige Bild. - (Mathe, Mathematik, Wurzel)
99999hilfe 09.12.2012, 20:07

wie kommst du denn von i zu i³ ??? und was willst du machen?

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