Probleme mit der Mathematik! Wie kann ich diese Aufgabe einfach lösen?

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4 Antworten

Siehe Mathe-Formelbuch Anwendung "Integralrechnung"

"Volumen eines Rotationskörpers um die x-Achse"

Formel V= pi * Int (f(x)^2 *dx

f(x)^2= (2-2/9 *x) * (2 - 2/9 *x) * x^(0,5) * x^(0,5)

V= pi * Int (4/81 * x^3- 8/9 * x^2 + 4*x) dx 

V= pi * (1/81 *x^4 - 8/27 *x^3 + 2 *x^2 + C)

V= obere Grenze - untere Grenze

Nullstellen im Intervall xu (untere Grenze) und xo (obere Grenze) beachten.

Prüfe auf Rechen- u. Tippfehler !

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Erst Null stellen bestimmen dann machen was Biene gesagt hat nur als Grenzen die Nullstellen einsetzen (also da wo der Grapf über der x Achse lang läuft... den Bereich möchtest du haben.

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Kommentar von Gyselle
23.08.2016, 23:17

Ich frage dich ungern aber könntest du es kurz lösen und mir das zeigen?
Ich komme einfach nicht weiter....

0

            2 
f(x) = —— * (9 - x) * √x
            9

Nullstellen berechnen: 

Zuerst müssen wir die Nullstellen berechnen, da diese die Grenzen des Integrals darstellen:

         2 
0 = —— * (9 - x) * √x
         9

Hier müssen wir gar nicht groß auflösen, sondern können gleich den Satz des Nullprodukts anwenden:

Ein Produkt wird null, wenn mindestens einer seiner Faktoren null wird.

Also entweder (9 - x) = 0 oder √x = 0.

Daraus folgt: x₁ = 0; x₂ = 9

Formel für das Volumen des Rotationskörpers aufstellen:

Das sollte dir bekannt sein.

Am Ende multiplizieren wir noch aus, da Polynome am einfachsten zu integrieren sind:

           ₉                       ₉                                              ₉
V = π * ∫ f(x)² dx = π * ∫ (2/9 * (9 - x) * √x)² dx = π * ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x dx
          ⁰                       ⁰                                              ⁰

Integrieren:

Jetzt kommt der eigentliche Teil der Aufgabe. Wir müssen integrieren.

             ₉
V = π * ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x 
            ⁰

Der Übersichtlichkeit halber bilden wir erst einmal die Stammfunktion (da die Konstante c sich ohnehin immer wegkürzt, habe ich sie weggelassen):

F(x) = ∫ 4/81 * x³ - 8/9 * x² + 4x
        = ∫ 4/81 * x³ dx + ∫ -8/9 * x² dx + ∫ 4x dx
        = (4/81)/4 * x⁴ + (-8/9)/3 * x³ + 4/2 * x²
        = 1/81 * x⁴ + (-8/27) * x³ + 2x²

Jetzt setzen wir noch die Grenzen ein, also die eben berechneten Nullstellen der Funktion:

V = π * (F(9) - F(0))

Da der Term bei x = 0 null wird, kann F(0) einfach weggelassen werden:

   = π * F(9)

Jetzt einfach in die Stammfunktion einsetzen:

   = π * (1/81 * 9⁴ + (-8/27) * 9³ + 2*9²)

Und zusammenfassen:

   = π * (81 - 216 + 162)
   = 27π

Der Rotationskörper hat also etwa ein Volumen von 27π ≈ 84,82 VE.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Einfach die Formel anwenden

Pi*Integral(f(x))^2

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Kommentar von Biene1233
23.08.2016, 23:14

zuerst aber noch die Schnittpunkte mit der x Achse berechnen f(x)=o

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Kommentar von Biene1233
23.08.2016, 23:15

Das sind dann deine Grenzen für das Integral

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