Problem mit Zinsenzins

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(500/100x4/360 x "x")+(500/100x5/360x 2"x")=864-500

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Kennst du die Zinseszinsformel?

K(n) = K0 * ( 1 + p ) ^ n

mit

K(n) = Kapital inklusive Zinsen nach n Zinsperioden

K0 = Anfangskapital (hier: 500 DM)

p: Zinsfuß (hier: zunächst 4 % = 0,04 , danach 5 % = 0,05)

n: Anzahl Zinsperioden.

Vorliegend werden 500 DM n Jahre lang mit 4 % und das danach vorhandene Kapital dann doppelt so lange, also 2 n Jahre lang, mit 5 % zinsesverzinst. Nach 3 n Jahren hat man 864 DM.

Nach n Jahren hat man laut Zinseszinsformel:

K(n) = 500 * 1,04 ^ n DM

und nach weiteren 2 n Jahren:

K ( 2 n ) = K ( n ) * 1,05 ^ ( 2 n ) = 864 DM

Setzt man für K ( n ) den Term aus der ersten Gleichung ein, erhält man:

K ( 2 n ) = 500 * 1,04 ^ n * 1,05 ^ ( 2 n ) = 864

<=> 864 / 500 = 1,04 ^ n * 1,05 ^ ( 2 n )

<=> log ( 864 / 500 ) = log ( 1,04 ^ n * 1,05 ^ ( 2 n ) )

<=> log ( 864 / 500 ) = log ( 1,04 ^ n ) + log ( 1,05 ^ ( 2 n ) )

<=> log ( 864 / 500 ) = n * log ( 1,04 ) + 2 n * log ( 1,05 )

<=> log ( 864 / 500 ) = n * ( log ( 1,04 ) + 2 * log ( 1,05 ) )

<=> log ( 864 / 500 ) / ( log ( 1,04 ) + 2 * log ( 1,05 ) ) = n = 4 Jahre (gerundet).

Also: Bei der in der Aufgabenstellung genannten Verzinsungsweise sind aus 500 DM nach 3 n = 12 Jahren 864 DM geworden.

Probe:

500 * 1,04 ^ 4 = 584,92928

584,92928 * 1,05 ^ 8 = 864 DM (auf ganze DM gerundet)

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