Problem Matheaufgabe Funktion angeben, Nullstellen sind gegeben?

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5 Antworten

a * (x + 4) * (x - 2) * (x - 4)

a muss berechnet werden

(x + 4) * (x - 2) = x ^ 2 - 2 * x + 4 * x - 8 = x ^ 2 + 2 * x - 8

(x ^ 2 + 2 * x - 8) * (x - 4) = x ^ 3 + 2 * x ^ 2 - 8 * x - 4 * x ^ 2 - 8 * x + 32 = x ^ 3 - 2  * x ^ 2 - 16 * x + 32

P (0/-4)

x ^ 3 - 2  * x ^ 2 - 16 * x + 32 mit x = 0 ergibt -->

0 ^ 3 - 2 * 0 ^ 2 - 16 * 0 + 32 = 32

Es soll an der Stelle x = 0 aber nicht der Wert 32 sein, sondern -4, deshalb -4 = 32 / (-8)

Deshalb ist a = - (1 / 8) weil durch -8 geteilt wird.

Mit (x + 4) * (x - 2) * (x - 4) = x ^ 3 - 2  * x ^ 2 - 16 * x + 32

ergibt sich mit a * (x + 4) * (x - 2) * (x - 4) folgendes

f(x) = -(1 / 8) * (x ^ 3 - 2  * x ^ 2 - 16 * x + 32)

Diese Funktion hat alle geforderten Nullstellen und geht durch den Punkt P(0|-4)

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Um die Nullstellen abzudecken kannst du einfach die Nullstellenform einer Polynomfunktion angeben und musst dabei nur den Vorzeichenwechsel beachten.

Die Funktion würde bei den oben genannten Nullstellen also so aussehen:

f(x) = (x+4) * (x-2) * (x-4)

Wir sind noch nicht fertig, da die Funktion im Fall x = 0 die y-Koordinate "-4" haben soll.

Du setzt x=0 in die Funktion von oben also ein:

f(0) = 4 * (-2) * (-4)

f(0) = 32

Da aber für f(0) = -4 erfüllt sein soll verschieben wir die Funktion um -36 in y-Richtung, weil 32-36 = -4

Das heißt die gesuchte Funktion ist

f(x) = (x+4) * (x-2) * (x-4) - 36

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Kommentar von Stnils
01.12.2015, 20:47

Ich sehe gerade, dass der Ansatz falsch ist, weil durch die Verschiebung die Nullstellen nicht mehr erfüllt sind.

Man muss die Funktion also stauchen:

f(x) = (x+4) * (x-2) * (x-4) * a

f(0) = -4 = 32 a

-1 / 8 = a


Also: f(x) = (x+4) * (x-2) * (x-4) * (-1/8)

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y= a(x+4)(x-2)(x-4) jetzt P einsetzen und a berechnen.

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y-Koordinate = 0 setzen, da du ja die Stelle suchst, an die die Funktion den Wert (y-Koordinate) 0 hat. Ist ja typisch für eine Nullstelle....

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