Problem beim Gleichung lösen?

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

(-4 * x + 8) / (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2 = -4

Mittels einer Wertetabelle kann die Lösung sofort gefunden werden, die liegt nämlich bei x = 3

Damit wäre das Thema eigentlich schon erledigt.

Macht man es sich absichtlich schwer, dann kann es auch noch anders gelöst werden -->

(-4 * x + 8) = -4 * (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2

-4 * x = -8 - 4 * (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2 | : (-4)


x = 2 + (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2


oder

x = 2 + (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2

√(x - 2) = x ^ 2 - 4 * x + 4

4 * x = x ^ 2 + 4 - √(x - 2)

x = (1 / 4) * (x ^ 2 + 4 - √(x - 2))


oder

x = 2 + (x ^ 2 - 4 * x + 4) ^ 2

√(x - 2) + 4 * x - 4 = x ^ 2 | √(...)

x = √(√(x - 2) + 4 * x - 4)

Das sind sogenannte Fixpunktgleichungen und nun kann man mit denen Fixpunktiterationen durchführen.

Das lustige daran ist, dass nicht jede Fixpunktgleichung konvergieren muss, in der Tat ist es hier so, dass nur die 3-te Fixpunktgleichung, damit meine ich x = √(√(x - 2) + 4 * x - 4) konvergiert, und  sie konvergiert nur mit einem Startwert 2 <= x <= ∞

https://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktiteration

Du setzt einen Startwert für x in die rechte Seite der Gleichung ein, und
erhältst auf der linken Seite der Gleichung einen verbesserten
Wert für x, denn du dann wiederum einsetzt und so weiter, bis du
zufrieden bist.

Das muss allerdings nicht immer konvergieren !

Nehmen wir nun mal einen Startwert, zum Beispiel x = 1000 dann erhalten wir nach 126 Iterationen den Wert x = 3, das konvergiert langsam, weil x = 1000 weit von der wahren Lösung entfernt ist.

Die Fixpunktgleichung x = √(√(x - 2) + 4 * x - 4) produziert mit dem Startwert x = 2 sogar eine Phantomlösung, und das ist x = 2

Phantomlösungen sind Lösungen die in Wahrheit keine Lösungen sind, deshalb muss man immer eine Probe machen.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Es kann doch einfach nicht sein, dass für solche Aufgaben nicht Beispiele in der Schule vorgerechnet worden sind! Wir helfen ja gern, aber so etwas sollte im Unterricht wirklich geübt worden sein.

Es steht und fällt damit, dass man erkennt, dass im Nenner ein vollständiges Binom steht:

http://dieter-online.de.tl/Binomische-Regeln-r.ue.ckw.ae.rts.htm

x² - 4x + 4 = (x - 2)² 

Und jetzt die komplette Gleichung:              x ≠ 2 (klar!)

(-4x + 8) / (x² -4x + 4)²  =  -4       | Zähler und Nenner faktorisieren
-4 (x - 2) / (x - 2)^4       =  -4       | Kürzen
   -4       / (x - 2)³          =  -4       | /(-4)
    1      /  (x - 2)³          =   1       | Kehrwert bilden
                (x - 2)³         =   1

Vermutung: eine Lösung müsste 3 sein, denn (3 - 2)³ = 1 .

                             x    =    3

Ich will mich mit dem Rest nicht aufhalten, weil die anderen beiden nicht reell sind, und die Schwierigkeiten wohl am Anfang gelegen haben. Wenn du es doch zu Ende rechnen willst:
wenn du  ((x - 2)³ - 1) durch (x - 3) dividierst, bekommst du ein Polynom 2. Grades für eine p,q-Formel heraus.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Spongifreak01 06.03.2016, 14:01

Kann sein, dass der Lehrer solche Probleme schon angesprochen hat. Nur manchmal kommt da von alleine nicht drauf
Vielen lieben Dank! :)

1

Ein bisschen gucken (ist aber Übungssache) - dann siehst du dass du bei Zähler -4 herausheben kannst und der Nenner bzw. der Term in der Klammer eine binomische Formel ist:

-4·(x-2) / (x-2)⁴ = -4   | :(-4)

(x-2)/(x-2)⁴ = 1  | · Nenner
(x-2) = (x-2)⁴     | alles auf eine Seite
(x-2)⁴ - (x-2) = 0   | (x-2) herausheben
(x-2)·[1 - (x-2)³) = 0  | Produkt-Null-Satz

(x-2) = 0 v 1-(x-2)³=0

(x-2)³ = 1   | 3.Wurzel ziehen
x-2 = 1 → x=3
Damit hast du 2 reelle Lösungen: x=2 v x=3

Es "bietet sich an" am Anfang durch (x-2) zu kürzen, aber dann verlierst eine Lösung (außerdem ist ja (x-2)=0; du würdest also durch 0 dividieren, was ja nicht erlaubt ist)

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Zwieferl 11.07.2016, 12:08

Korrektur: Natürlich darfst du hier durch (x-2) kürzen, da es ja nicht 0 werden kann (eingeschränkte Definitionsmenge!) → am Anfang kürzen ist natürlich einfacher!

0

Den linken Nenner nach rechts Multiplizieren, Quadrat als Produkt Ausmultiplizieren und dann -4 reinmultiplizieren. Dann hast du die normale Polynomform (Grundform) vorliegen und löst diese wie ab der 2. Klasse!

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Spongifreak01 06.03.2016, 13:49

Danke

1
UlrichNagel 06.03.2016, 13:56
@Spongifreak01

Hab mir leider nicht die Basis des Quadrats im Nenner angeschaut, was bereits eine Binomische Formel ist. Damit hat Volens viel einfacher gelöst!

0

Ist das nicht eine Gebrochenrazionale Funktion?

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Was möchtest Du wissen?