Problem bei Mathe: Vollständige Induktion?

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2 Antworten

Das Induktionsprinzip an sich hat ja nichts mit Summen zu tun, aber eignen sich manchmal für diese besonders, deshalb ist eine Summenberechnung meist eine gute Einführung. An sich sagt es nur aus, dass eine Aussage P, wenn sie für 0 gilt und aus P(n) P(n+1) folgt, für alle natürlichen Zahlen gilt.

Deine Aussage: (1+a)^n >= 1+na, diese Ungleichung heißt übrigens Bernoulli-ungleichung, falls du dich über die Anwendung oder Geschichte dieser (wichtigen) Ungleichung schlau machen willst, du wirst sie auf jeden Fall wiedersehen an der ein oder anderen Stelle.

Induktionsanfang: (1+a)^0 = 1 >= 1 + 0a = 1 ist klar.

Gelte die Bernoulli-ungleichung für ein n, dann gilt:

(1+a)^(n+1) = (1+a)(1+a)^n >= (1+a)(1 + na) = 1 + na + a + na² = 1 + (n+1)a + na² >= 1 + (n+1)a, also gilt sie auch für n+1.

Alles verstanden soweit?

Versuche einfach mal alleine, gute Abschätzungen für manche Terme z.b. Wurzeln oder Fakultäten zu finden und beweise sie einfach mal als Übung, es wird dir helfen.

LG

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Wenn du davon verwirrt bist, dass kein Summenzeichen vorkommt, hast du vermutlich das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht ganz verstanden (ein wirklich mächtiges Werkzeug nebenbei): Du ar

gumentierst: Falls es für irgendeine Zahl n gilt, muss es auch für n+1 gelten. (Ob es für n tatsächlich gilt, ist zunächst egal) Da du es am Anfang für n=1 gezeigt hast, gilt es also auch für n+1=2. Da es für n=2 gilt, gilt es a uch für n+1=3, etc. 

So funktioniert vollst. Induktion.


Nun zur Aufgabe: Du willst zeigen, dass (1+a)^n >= 1+na für alle natürlichen Zahlen n und alle reellen Zahlen a>-1 gilt:

Induktionsanfang: n=1: (1+a)^1 = 1+a >= 1+a = 1+1*a  ...  Stimmt also!

Induktionsvoraussetzung: Ich nehme an, es existiert eine natürliche Zahl n, sodass (1+a)^n >= 1+na gilt.

Induktionsschritt: n -> n+1:

(1+a)^n+1 = ((1+a)^n)*(1+a) >=* (1+na)*(1+a)=(1+na^2+na+a) >=** (1+na+a) =*** (1+a(n+1)) ... also (1+a)^n+1 >= (1+a(n+1))

Beweis für alle n folgt durch Prinzip der vollst. Induktion.

* gilt, da hier die I.V. benutzt wird

** gilt, da n>=0, sowie a^2>=0, daraus folgt n*a^2>=0. und wenn du von einer Summe etwas >= 0 wegnimmst machst du sich höchstens kleiner

*** folgt durch Ausklammern von a im Term (na+a)

Falls noch Fragen bestehen: Gerne nochmal weiterfragen. Die Formeln sind so unschön und sehen schwierig im Text-Format aus :D


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