Probe zur Symetrie der Potenzfunktion

...komplette Frage anzeigen

3 Antworten

A. "Falls alle Exponenten der Gleichung positiv sind, dann liegt eine Achsensymetrie vor. Falls alle Exponenten der Gleichung negativ sind, dann liegt eine Punktsymetrie vor. Falls die Exponenten in der Gleichung sowohl positiv als auch negativ sind, dann ist keine Symetrie vorhanden."

OH NEIN. Um das Vorzeichen des Exponenten geht es keineswegs. Richtige Version:

"Falls alle Exponenten der Gleichung gerade sind, dann liegt eine Achsensymmetrie vor. Falls alle Exponenten der Gleichung ungerade sind, dann liegt eine Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. Falls die Exponenten in der Gleichung sowohl positiv als auch negativ sind, dann ist keine der genannten Symmetrien vorhanden."

Andere Punkt- oder Achsensymmetrien können sehr wohl vorhanden sein. Z.B. ist jede Parabel zu y-Parallelen durch ihren Scheitel symmetrisch. - Aber das ist in dem Fall nicht die Aufgabe.

Glücklicherweise rechnest du aber richtig, auch wenn deine Formulierung "zum Pickelkriegen falsch" ist.


B. Wenn du "f(x) = f(-x)" nachweisen willst, fängst du am besten mit

"f(-x) = ...." an und hörst mit

".... = -f(x)" wieder auf.

Wenn du gleich von Anfang an schreibst. "f(x) = f(-x)", dann tust du so, als wäre das für die betrachtete Funktion schon bewiesen. Das ist ein logischer Fehler.


C. f(x)=x^7+4 x³ −2x

ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, weil nur ungerade Exponenten (7, 3 und 1 wegen x = x^1) vorkommen. Soweit ok. Nachweis:

f(-x) = (-x)^7 + 4•(-1)³ x³- 2•(-1)x = ...

Der Trick ist nun, (-1) auszuklammern und zu verwenden:

(-1)^(2k) = ( (-1)^2) ^k = (+1)^k = 1, alle geraden Potenzen von (-1) sind +1, und

(-1)^(2k +1) = (-1)^(2k) • (-1) = 1 •(-1) = -1, alle ungeraden Potenzen von (-1) sind +1.

... = (-1)^7•x^7 + 4•(-1)³ •x³- 2•(-1)•x =

(-1)•x^7 + 4•(-1)•x³ - 2•(-1)•x =

(-1)•( x^7 + 4x³ - 2x ) =

(-1)•f(x) = - f(x), wie zu beweisen war.

Das ist "Nummer sicher" und funktioniert immer. Die Doppelklammer ist nur eine abgekürzte Schreibweise.

. . .

f(x)=x³ −5x

ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, weil nur ungerade Exponenten (3 und 1 wegen x = x^1) vorkommen. Nachweis mit genau den gleichen Schritten:

f(-x) =

(-x)³ - 5•(-x) =

(-1)³ •x³ - 5•(-1)•x =

(-1) •x³ - 5•(-1)•x =

(-1) •( x³ - 5•x ) =

(-1) • f(x) = -f(x), wie zu beweisen war.

. . .

f(x) = x(x−1)(x+1)

Dritte binomische Formel: (a -b)(a +b) = a² -b²

f(x) = x( x² - 1²) =

x(x² -1) =

x³ - x;

der Rest geht wie oben, also?

. . .

f(x) = (2−x)² (2+x)²

Potenzrechnung: a^c • b^c = (a •b)^c

f(x) = ( (2 -x)(2 +x) ) ² =

3.binomische Formel:

(2² - x²) ² =

2.binomische Formel: ... also?

Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, weil? - Bedenke:

 Die Zahl a kann auch 

 a = a • 1 = a • x^0 

 geschrieben werden,  und 

 0 lässt bei Teilung durch 2 keinen Rest (ist also eine gerade Zahl).

Nachweis:

f(-x) =

16 - 8(-x)² + (-x)^4 =

16 - (-1)² • 8x² + (-1)^4 • x^4 =

16 - (+1) • 8x² + (+1) • x^4 =

16 - 8x² + x^4 = f(x), wie zu beweisen war.

. . .

f(x) = (x−1)³ +3x² +1

 mit Pascalschem Dreieck :  

 (a -b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ ,

 oder schrittweise mit 2. binomischer Formel: 

 (a-b)³ = (a-b)(a-b)² = 

 (a-b)(a² -2ab +b²) = 

 a³ - 2a²b +ab² -ba² +2ab² -b³ = 

 a³ -3a²b +3ab² -b³

f(x) = x³ -3x² +3x -1 +3x² +1 =

zusammenfassen:

x³ +3x;

... und das kriegst du vielleicht alleine hin.

"f(-x) = ...." an und hörst mit

".... = -f(x)" wieder auf.

MUSS HEISSEN:

"f(-x) = ...." an und hörst mit

".... = (+)f(x)" wieder auf."

0

Wow vielen Dank für die ausführliche Antwort ... aber in mir stirbt grad alle Hoffnung. Ich werde es mir aber auf jeden Fall noch sehr genau angucken und am Sonntag lerne ich noch mit Freunden und da zeig ich denen deine Aantwort. Vielen Dank

0

Weitere Schreibfehler und Missverständlichkeiten in meinem eigenen Text (ändert nichts am Konzept der Lösung, also so kannst du vorgehen, das bleibt):

  • "alle ungeraden Potenzen von (-1) sind +1." o je, denn es muss natürlich heißen "alle ungeraden Potenzen von (-1) sind -1."

  • "Z.B. ist jede Parabel zu y-Parallelen durch ihren Scheitel symmetrisch. " sollte heißen: "Z.B. ist jede Parabel zur y-Parallelen durch ihren Scheitel symmetrisch. " (Es gibt genau eine.)

  • "Die Doppelklammer ist nur eine abgekürzte Schreibweise." bezieht sich auf deinen eigenen Text

  • In "Wenn du gleich von Anfang an schreibst. 'f(x) = f(-x)', " kommt " : " nach "schreibst".
0

Zitat: Falls alle Exponenten der Gleichung positiv sind, dann liegt eine Achsensymetrie vor. Falls alle Exponenten der Gleichung negativ sind, dann liegt eine Punktsymetrie vor. Falls die Exponenten in der Gleichung sowohl positiv als auch negativ sind, dann ist keine Symetrie vorhanden.

Ich fürchte, das ist falsch. Es geht darum ob die Exponenten alle (1) gerade oder (2) ungerade oder (3) gemischt sind.

(1) Es liegt Achssymmetrie vor. (2) Es liegt Punktsymmetrie vor. (3) Keine Symmetrie

Tut mir leid das war wohl mein Fehler. Das habe ich auch gemeint :)

0

zu 2.

Du hast -(f(-x)) hingeschrieben:

f(-x) = -f(x) /// *(-1)

-(f(-x)) = f(x)

So kann man den Symmetrietest auch formulieren.

Was möchtest Du wissen?