PQ Formel hilfeeeeeeeeeeee

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8 Antworten

also du willst wohl einen Wert ermitteln, für den y=0 ist. Deshlab setzt du die die Gleichung gleich Null und mußt dann rauskriegen, für welche x-Werte das zutrifft. Also da steht dann ax²+bx+c=0. Die Gleichung mußt du noch durch a dividieren, damit das x² ohne Faktor dasteht, sonst funktioniert die PQ-Formel nicht. Also da steht dann x²+(b/a)x +(c/a)=0.

nun gilt, daß der Wert vor dem x das p ist (also b/a=p) und der Wert ohen Variable ist das q. (also c/a) ist q.

Dann nimmst du die PQ-Formel, und setzt für p und q eben das ein. Da ist ja eine Wurzel dabei. Wenn du die Gleichung auflöst, hast du ja einmal die positive Wurzel und einmal die negative, Beides führt je zu einener Lösung für x.

kleinerkuchen98 24.03.2012, 19:01

BÄHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHM DANKE

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Also, du kennst ja bestimmt die Parabel in Scheitelpunktform. Die hat einfach folgende Gleichung:

y = a(x - b)² + c, also z.B. 3 * (x - 2)² + 1. Diese kann ich nun mithilfe der binomischen Formel ausmultiplizieren:

3 * (x - 2)² + 1 = 3 * (x² - 4x + 1) + 1 = 3x² - 12x + 3 + 1 = 3x² - 12x + 4.

Also gilt: y = 3x² - 12x + 4. Nun will ich wissen, wann y Null wird, also soll gelten:

3x² - 12x + 4 = 0. Das kann ich durch 3 teilen, damit nichts mehr vorm x² steht:

x² - 4x + 4/3 = 0.

Nun hat meine Gleichung die Form x² + px + q = 0, wobei p = - 4 und q = 4/3 ist. Jetzt gilt: x = - p/2 +- Wurzel (p²/4 - q). Das ist die pq-Formel. Ich kann also einfach p und q einsetzen und kriege direkt die Ergebnisse raus, für die die Gleichung x² - 4x + 4/3 = 0 gilt.

Melvissimo 24.03.2012, 19:06

PS: Das ganze ist natürlich falsch, weil ich es nicht geschafft habe, die binomische Formel richtig anzuwenden... Es müsste im dritten Absatz natürlich heißen:

3 * (x - 2)² + 1 = 3 * (x² - 4x + 4) + 1. Aber die Vorgehensweise bleibt dieselbe :D

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Die Formel, die du in fett geschrieben hast, ist in der Normalform. Die Normalform kommt zustande, wenn man die Scheitelpunktsform (Beispiel: y=a*(x+d)²+e) auflöst. Die pq-Formel ist eine Methode, um aus der Normalformgleichung mit dem y-Wert gleich 0, die Schnittstellen mit der x-Achse zu bestimmen. (Bei welchen x-Werten ist y=0?)

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist:

a x ² + b x + c = 0

Dividiert man eine solche Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes, also vorliegend durch a, so erhält man die Normalform einer quadratischen Gleichung:

x ² + ( b / a ) x + ( c / a ) = 0

Setzt man nun

p = ( b / a )

und

q = ( c / a )

dann kann man diese Gleichung auch so schreiben:

x ² + p x + q = 0

Auf eine Gleichung in dieser Form kann man nun die pq-Formel anwenden. Diese dient zur Bestimmung der Lösungen dieser Gleichung, also derjenigen Werte, die x annehmen muss, damit die Gleichung wahr wird.

Die pq-Formel lautet:

x1,2 = - ( p / 2 ) +/- Wurzel ( ( p / 2 ) ² - q )

Setzt man die Koeffizienten p und q der fett gesetzten Gleichung in diese Formel ein, so erhält man die Lösungen x1 und x2 der fett gesetzten Gleichung - sofern sie existieren.

Genau zwei Lösungen existieren, wenn der Radikand der Wurzel in der pq-Formel positiv ist.

Genau eine Lösung existiert, wenn der Radikand der Wurzel in der pq-Formel gleich Null ist.

Keine Lösung existiert, wenn der Radikand der Wurzel in der pq-Formel negativ ist.

y = ax² + bx + c

-> für die p,q formel musst du erst durch a teilen, sonst funktioniert sie nicht

y = x² + bx + c

-> das ist eine quadratische gleichung, für die p,q formel ist sie so: y = x² + px + q, anders aber auch richtig

und diese quadratische gleichung lässt sich in die p,q formel einsetzten

x₁₂ (also x₁ und x₂) = - p/2 ± √(p/2)² - q

verstanden? :)

kleinerkuchen98 24.03.2012, 19:02

so fast

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Schnattie97 24.03.2012, 19:10
@kleinerkuchen98

ich mach mal ein beispiel:

y = x² + 10x + 9

so, dann musst du das in die p,q formel einsetzen:

x₁₂ = - 10/2 ± √(10/2)² - 9 = -5 ± √5² - 9 = -5 ± √25 - 9 = -5 ± √16 = -5 ± 4

und jetzt musst du x₁₂ "trennen", und mit x₁ + die wurzel bzw. das ergebnis der wurzel und mit x₂ minus die wurzel / ergebnis rechnen

x₁ = -5 + 4 = -1

x₂ = -5 - 4 = -9

L = { -9; -1}

eine quadratische gleichung kann null, eine oder zwei lösungen (x₁ und x₂) haben, im normalfall eigentlich 2

hoffe, du hast es jetzt verstanden :)

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Normalform heist x² steht ohne einen Faktor und y=0.

Also konkret 2x² + 34x -34 = 35 ist nicht die Normalform...

2x² -34x-69=0 ist auch noch nicht die Normalform

x² - 17x - 34,5 =0 => nun kannst Du die PQ Formel verwenden...

-> allgemeine formel: x hoch 2 + px+ q =0 -> Lösungsformel: - p durch 2 +/- wurzel( (p durch 2) hoch 2 minus q)

du brauchst di normal form um diese in die p-q formel ein zusetzen

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