potenzrechenbödsinn! :----))

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6 Antworten

Deine Formulierung lässt vermuten: dich mit Potenzen ernsthaft zu befassen hast du eigentlich nicht vor. Die gute Nachricht: das darfs du; Potenzrechnen ist kaum überlebenswichtig. Und nun die schlechte Nachicht: die Konsequenzen treffen dich dann auch. Deine Entscheidung ist ganz einfach: was hättest du lieber? - Dann eine Frage: wie kommt es, dass du mit solch einfachen Potenzen offenbar nichts anfangen kannst (weißt du's nicht: denk nach, du wirst die Antwort finden)?

Aber zum Anfang. Ne, nich Himmel & Erde oda so, wir sind ja bei Potenz - äh, Potenzrechnen. An deren Anfang stand die Faulheit - nämlich derer, die es satt hatten, in einem Produkt einen ganzen Rattenschwanz gleicher Faktoren hinzuschreiben und fragten: geht das nicht auch kürzer? - Dann gab es ja schon die Multiplikation, die kürzte ja auch ab, aus z.B. a + a + a wurde 3 x a ... (wobei hier a nun eine Zahl sein soll - und weil es schnurzegal ist welche, steht hier eben a und nicht eine Zahl, weil, das könnte ja verwirren - eine Zahl, die für jede beliebige Zahl stehen soll, da kommt man ja durcheinander ..)

So legten sie dann fest: ein Produkt wie z.B. a x a x a =: a³ zu schreiben, nannten dazu a die Basis und 2 den Exponenten (schließlich muss man wisseen, was gemeint ist - babylonisches Sprachgewirr hatten wir ja schon (und wenn ich im Folgenden nur 2 und 3 als Exponenten schreibe, hat das was damit zu tun, dass ich die - und nur die - mit meiner Tastatur ohne Verrenkungen als Exponenten schreiben kann; in Mathe nimmt dann meist n und m: das sollen dann natürliche Zahlen sein; die Schreiberei wird etwas länger, die Vorstellung und Phantasie ist gefragt - dafür gilts aber so allgemein dann auch für alle Zahlen). '=:' übrigens zeigt an: vereinbaren wir mal so, von links nach rechts zu lesen. Und ja: man kann's ganz anders machen - hat man aber nicht.

Nun gibt's natürlich ein Problem: angenommen, a³ ist ausgerechnet (gegeben - kann in Physi schon mal passieren) , also etwa zu a³ =: A - und ich brauche aber a: dann gibt's dafür wieder eine Schreibweise, die mit dem komischen V mit dem langen Strich nach rechts (über das A und was immer dafür steht - und einem kurzen und tieferen Strich nach links, darüber steht die 3, also der Exponent (steht nix da, ist die 2 gemeint - kommt am häufigsten vor, ist zugleich der kleinste Exponent, bei der diese Operation Sinn macht - also kann man's auch weglassen, muss nur jede(r) wissen ..). Und einen Namen kriegt dieses 'Kind' dann auch: Wurzel. - Ein paar (für Mathe!) neue Wörter, so wie Vokabeln (auch wenn's Symbole sind - und die muss man eben wissen (und was damit gemeint ist natürlich auch - so ist's halt mit Vokabeln). - Zu verstehen gibt's hier erst mal gar nichts - außer vielleicht wieso ausgerechnet Wurzel, wobei ich doch dann immer an meine letzte Wurzelbehandlung beim Zahnarzt ... aber das gehört nicht mehr zu Mathe, müssen wir alsoo nicht weiter vertiefen).

Was mit der Definition auch klar ist: sie gilt auch umgekehrt: a³ = a x a x a! Banal? - Fast: brauche ich nämlich, wenn's nachher um 'Regeln' geht.

Und um die geht's jetzt (fast). Denn erst mal kommt die Frage, was ist wenn ... Also schaut man, was passieren kann, wenn man ein bisschen rumspielt, variiert. - Da gibt's also bei Potenzens 2 verschiedene Dinge: Basis und Exponent. Und zum Spielen wieder braucht's von jedem 2, erst mal, also zwei Basen (a, b), zwei Exponenten (n, m). Und ist später mehr nötig - nimmt man's dann - später. Jetzt gibt's 2 von jedem. Gucken wir also, wie man die verbinden kann - also welche Kombinationen da so möglich sind, und zwar, wenn man so ein a² und b³ als Produkt verbindet (wir gehen systematsich vor; Summe käme später, kommt aber nicht - so viel schon jetzt: macht keinen Sinn) - hier also: a² x b³ (statt 2,3 sin n, m zu denken! - Tastatur halt). - Welche a² x b³ also kannt es geben? - Nun, (1) können verschieden sein; (2) die Basen sind verschieden, die Exponenten aber gleich, (3) die Basen sind gleich, aber die Exponenten verschieden, (4) die Basen sind gleich und die Exponenten sind gleich (können aber untereinander verschieden sein - können auch alle gleich sein, wäre ein Spezialfall, der aber dann schon sozusgen 'erschlagen' ist.

(1) also - wäre a² x b². - Nun braucht's die Definition - und zwar rückwärts, 'aufgelöst: = (a x a) x (b x b x b). Mit Klammern zur Verdeutlichung erst mal - aber ein reines Produkt; kann man die 'Zuordnung'sklammern also weglassen: = a x a x b x b x b. Faktoren kann man in einem Produkt beliebig vertauschen - und mir passt gerade Päärchenbildung, also: = a x b x a x b x b - und zusammen fassen: = (a x b) x (a x b) x b - gibt dann (a x b)² x b - nicht so ergiebig, aber OK, schön, es mal gemacht zu haben ... (2) nun, verschiedene Basen, gleiche Exponenten - wie a² x b²: Erklärung war oben, also kurz: = a x a x b x b = (a x b) x (a x b) = (a x b)²: gut zu wissen, wird wohl öfters vorkommen.

Nachtfahrer 27.01.2013, 15:35

Nun (3): gleiche Basen, verschiedene Exponenten - wie a² x a³: auch hier wieder über die Definition zurück (und: der Exponent gab ja an, wie oft die Basis vorher (auf der anderen Seite) im Produkt auftauchte) - also a x a x a x a x a = a^(2 + 3 = 5).

Nun folgende Überlegung (male selber!): Wie sieht das mit z.B. mit a^(5 - 3) aus? Müsste nach obiger Regel ja a² sein. Also erst mal a^5 = a x a x a x a x a - und = a x a: müssste man links irgendwie kürzen - so a x a x a x a x a

______________ = a x a;

  a x a x a

und nun steht unterm Bruchstrich a x a x a = a³ - was vorgesuogen (kein Bruchstrich mehr) 1/(a x a x a) = 1/a³ ist - was (s.o.) aber = a^-3 sein muss: also (und nun allgemein) 1/a^n = a^(-n) - und umgekehrt. Dasselbe Muster nun - aber mit a^(3 - 2) = a^1 - als Bruch geschrieben bleibt schlich a_ also a = a^1. Nächste Überlegung: was, wenn a = a^1 wieder ein Produkt aus - sagen wir: 2 - Faktoren ist? Und diese Faktoren sollen nun Potenzen zur Basis a sein (den Exponenten nennen wir mal x): mathematisch geschrieben also a^x * a^x (anderes Malzeichen aus optischen Grpnden) = a^1. (3) sagt ja für die Exponenten : x + x = 1; folgt: x = 1/2; also a^1/2 x a^1/2 = a^1 = a ... Falls dir da Älnichkeiten zur Wurzelziehenüberlegung einfallen ...

Betrachtest du obige Erklärung ernsthaft, siehst du: jeder Schritt ist je für sich eher einfach; OK: man muss drauf kommen. Scheint es dir dann trotzdem irgendwo 'schwierig' - hat dies mit deinem Gehirn zu tun und wie es lernt - nämlich indem es 'Neues' erst mal verknüpft; dabei muss es dies vom 'Zwischenspeicher' auch noch auf dei 'Festplatte' (Langzeitgedächtnis) schreiben; das braucht Zeit. Gibt es viele kleine Schritte - sind viele Brocken zu 'essen' (aufnehmen, verstehen) und zu 'verdauen' (verknüpfen, speichern) - und zwar nacheinander. Weil es sonst ein Durcheinander gibt, Kudelmuddel - also mach' langsam - ud eine Pause, wenn du 'müde' fühhlst. - Zusätzlich: jedes Klick, jeden Aha-Effekt bejubeln: auch wenn's dir gekünstelt schein, hilft's der Erinnerung).

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akul444 27.01.2013, 16:39
@Nachtfahrer

Wow. Danke für diese Antwort. War bis jetzt glaube ich die längste die ich je bekommen habe! Sehr schön erklärt das alles, obwohl ich nicht komplett alles gebraucht hätte. Aber dankeschön! :)

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irgendetwas hoch eins ist immer der wert der hoch eins genommen wird, quasi 33^1 ist 33 und 50958^1 ist 50958 usw... etwas hoch 2 oder hoch 3 heißt einfach dass der wert, also die basis so oft mit sich selber multipliziert wird wie die zahl mit der sie hoch genommen wird, also der exponent, groß ist. BSP: 2² ist 4, da 2x2= 4, 2³ = 8, da 2x2x2=8

Verstanden?

akul444 27.01.2013, 12:20

ja, da liegt das problem das man am computer keine rechenaufgaben schreiben kann. ich versuch es nochmal: (3^1:3) x (9^1:3) x 3^2

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mrvaterstaat 27.01.2013, 12:30
@akul444

Bedenke einfach, dass zuerst die Potenz berechnet wird bevor du teilst, ich hoffe ich interpretiere das richtig und du teilst 3^1 durch 3 und hast nicht 3^(1/3) da stehen. dann sollte die aufgabe wie folgt gelöst werden: (3^1 / 3) = 1, da 3^1 = 3 und 3 /3 gleich 1, (9^1 / 3)=3, da 9^1 = 9 und 9 / 3 = 3 und zu guter letzt 3² = 3x3 also 9. Demnach ist das Ergebnis: 1x3x9=27 :)

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akul444 27.01.2013, 12:40
@mrvaterstaat

es ist genau andersrum :P der exponent soll durch 3 dividiert werden. aber in dem fall ist es ja das selbe, oder? und wie ist das sonst? also bei z.B. 3^2/3 ?

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mrvaterstaat 27.01.2013, 12:50
@akul444

AAAlso :) der exponent ^(2/3) ist etwas tricky, am besten ziehst du ihn auseinander zu x^(2 x (1/3)) das bedeutet dann das das ergebnis die (dritte wurzel von x )² wäre leider kann man das ganze hier nicht besnders schön darstellen beispiel: 3^(2/3) ist dann( dritte wurzel von 3)² oder um es einfach zu sagen (dritte wurzel von 3 mal dirtte wurzel von 3) was eine unschöne kommazahl bedeutet. Übrigens is t 3^(2/3) das selbe wie 9^(1/3) da du auch einfach die zwei als einzelpotenz sehen könntest und dann 3²^(1/3) hättest was dann wiederum 9^(1/3) wäre also die dritte wurzel von 9

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Hallo Akul,

wenn die Aufgabe so zu verstehen ist, dass die Potenz ein Quotient ist also 3 hoch ein Drittel und 9 hoch ein Drittel, dann kannst du so rechnen:
=(3)^(1/3) * 9^(1/3) * 3^2
=(3*9)^(1/3) * 3^2

mit 3 * 9 = 27
und hoch (ein Drittel) = 3.Wurzel aus
= 27 ^(1/3) = 3 , da 3 *3 *3 = 27
= 3 * 3^2
= 3 * 9
=27

LG Distel

akul444 27.01.2013, 12:51

danke, habe es geblickt. :)

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Der Lehrer sagt euch, wann ihr eine Ex schreibt? o.ô

akul444 27.01.2013, 12:32

nicht das thema ;) aber: ja :P

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oh, sorry. irgendwie hat der computer die mal zeichen nicht mitgeschrieben, zwischen 3 und 9 und 3 und drei wird multipliziert.

soll die Aufgabe so lauten:
3^1:3 * 9^1:3 * 3^2

einfach ein Leerzeichen dazwischen, dann klappt das.

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