Positiven Halbschwingungen Sinus?

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3 Antworten

In der Tat lässt sich dafür ein Ausdruck finden mittels der Fourie-Analyse. Die resultierende Fouriereihe konvergiert dabei sogar gleichmäßig gegen die ursprüngliche Funktion. Wir schreiben:

f(x) := sin(x) für x aus [0, pi)  , 2pi-periodisch fortgesetzt

Wir wollen nun die Fouriekoeffizienten dieser periodischen Funktion ermitteln.

c_k = 1/(2pi) * Int[0,pi]{ sin(x)*e^(-i*x*k) dx }

Für k = 0 folgt:   c_0 = 1/pi

Für k > 0 :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F(2pi)+*+Int%5B0,pi%5D%7B+sin(x)*e%5E(-i*x*k)+dx+%7D

c_k = (1 + (-1)^k)/(2pi*(1-k²))

mit    c_1 = -i/4   und   c_-1 = i/4

Wir können schließlich schreiben:

f(x) = sum[-inf,+inf]{ c_k * e^(ikx) }


Es gibt natürlich auch noch viele weitere Möglichkeiten, Fourie sollte jedoch für periodische Funktionen am bekanntesten sein.

rumar 24.07.2017, 12:00

Unendliche Reihe anstatt einer einzigen Anwendung einer Betragsfunktion wie z.B. in  f(x) = [ sin(x) + |sin(x)| ] / 2?

Scheint mir ziemlich umständlich ...

0

f(x) =  [ sin(x) + |sin(x)| ] / 2

Diese Funktion ist nicht davon abhängig, dass die Funktion teilweise gar nicht definiert wäre, wie im Vorschlag von NoTrolling.

Verwende z.B. f(x)=exp(ln(sin(x)))

Der Logarithmus darf als Argument nur positive Werte annehmen. Also ist f nur für die Werte von x definiert, für die sin(x)>0 gilt. Damit eben die positiven Halbschwingungen. (Beachte, dass sin(x)=0 NICHT enthalten ist)

Die Exponentialfunktion sorgt als Umkehrfunktion des Logarithmus, dass exp(ln(u))=u für u>0 gilt.

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