Polynomfunktionen Ableitungen?

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6 Antworten

Bei Polynomfunktionen hast Du eine Aneinanderreihung mehrerer Summanden, bestehend aus einem Koeffizienten (der Zahl vor dem x) und dem x mit unterschiedlichen Exponenten, also z. B.:

f(x)=7x^5-3x³+1/3x²-5

In diesem Beispiel hast Du 4 Summanden (hinter dem letzten steht "unsichtbar" x^0; x^0 ist gleich 1, und die läßt man üblicherweise bei Multiplikation und Division weg, weil sie am Ergebnis nichts ändert)

Bei solchen Funktionen mußt du jeden Summanden einzeln ableiten, und erhälst als Ableitungsfunktion wieder eine Polynomfunktion, die Du dann genauso ableitest, usw. Es spielt also gar keine Rolle, ob die Funktion 3., 4. oder 78. Grades ist. Die Vorgehensweise ist immer dieselbe.

Wie man die einzelnen Summanden nach der Potenzregel ableitet, wirst Du ja sicher wissen, wenn nicht: Der Exponent von x kommt als Faktor nach vorne und der Exponent wird um 1 reduziert. Absolute Glieder (also Summanden ohne x) fallen einfach weg.

auf obiges Beispiel angewendet:

f'(x)=35x^4-9x²+2/3x
f''(x)=140x³-18x+2/3
f'''(x)=420x²-18
usw...

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   f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
f'(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d
f''(x) = 12ax² + 6bx + 2c
f'''(x) = 24ax + 6b
f⁽⁴⁾(x) = 24a
f⁽⁵⁾(x) = 24
f⁽ⁿ⁾(x) = 0, n≥6
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PhotonX 13.09.2016, 11:34

Kleiner Fehler, die fünfte Ableitung ist schon Null, denn wir leiten ja nach x ab und nicht nach a.

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Suboptimierer 13.09.2016, 11:34
@PhotonX

Achja stimmt. Das sind so typische Flüchtigkeitsfehler von mir (keine Seltenheit). Danke!

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Naja man kann -1 schon als Polynom sehen und dann ergibt sich genau das hier:

0) f(x) = -1
1) f'(x) = 0
2) f''(x) = 0
3) f'''(x) = 0
4) f''''(x) = 0

Die Striche bedeuten ja schon, dass es sich bei f'(x) zum Beispiel um die erste Ableitung handelt.

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Sagdaehich 13.09.2016, 11:17

ja das eh, aber ich brauch die von 1.-4. grad auch

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Verstehe ich nicht, du weißt doch offensichtlich, wie man eine Ableitung ausrechnet, also warum setzt du dich nicht für fünf Minuten hin und rechnest es selbst?

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Hier die erste bis fünfte Ableitung einer allgemeinen Polynomfunktion vierten Grades:

f⁽⁰⁾(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

f⁽¹⁾(x) = 4ax³ + 3bx² + 2cx + d

f⁽²⁾(x) = 12ax² + 6bx + 2c

f⁽³⁾(x) = 24ax + 6b

f⁽⁴⁾(x) = 24a

f⁽⁵⁾(x) = 0

Jede weitere Ableitung hat den Wert 0, da (0)' = 0.

Wie du siehst, wird immer nur nach der allgemeinen Potenzregel abgeleitet:

(aⁿ)' = naⁿ⁻¹ (nach a abgeleitet)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

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ja von welchem polynom??

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Sagdaehich 13.09.2016, 11:01

polynomfunktion 0.-4. grades

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Schewi 13.09.2016, 11:03

Ja aber was ist die Ausgabgsfunktion? Was soll abgeleitet werden? Übrigens kann man das auch leicht mit einem Rechner im Internet machen

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Sagdaehich 13.09.2016, 11:15
@Schewi

ich brauch einfach nur die standardableitungen zb. 
1. grad
f(x)= ax+b
wie sind die ableitungen?

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