Polynomfunktionen - Mathematik?

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4 Antworten

Der Wasserstrahl stellt eine nach unten geöffnete Parabel dar wobei  der höchst Punkt der Punkt S ( 3 | 2,5) ist..

Die Funktion  h(x) bezeichne die Höhe des Wasserstrahl in der Entfernung x (x = horizontale Entfernung vom Austrittspunkt)

h ( x ) = a x^2 + b x + c

Dann haben wir 3 Bedingungen

(1) Der Austrittspunkt ist A ( 0 | 1 ). A muss auf dem Graphen liegen. d.h 
      h(0) = 1, eingesetzt ergibt c = 1, 

Die Funktion hat also die Form h ( x ) = a x^2 + b x + 1

(2) Der Punkt S ( 3 | 2,5) muss auf dem Graphen liegen d.h. h(3)=2,5
      9 a + 3 b = 2,5

(3) Der Punkt S (3 | 2,5) ist der höchste Punkt des Wasserstrahls. Das
      heisst der Graph hat bei S (3 | 2,5) eine horizontale Tangente.
      Also ist die Ableitung der Funktion an der Stelle 3 gleich 0
      h ' ( 3 ) = 0
      2 a 3 + b = 0
      6 a + b = 0
      oder b = - 6 a

Das setzen wir in die Gleichung ein, die wir aus Bedingung (2) erhalten haben:

9 a + 3 ( -6 a ) = 2,5

9 a - 18 a = 2,5

- 9a = 2,5

a = - 5/18

Und, da b = - 6 a,    b = 5 /3

Damit lautet die Funktion

h ( x ) = - 5/18 x^2 + 5/3 x + 1 

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h'(x) ist die erste Ableitung der Funktion, er gibt den Anstieg der Ausgangsfunktion an. Das heißt, bei einem Hoch- oder Tiefpunkt (Maximum und Minimum) ist der Anstieg gleich 0, da die 3m für stehen und der Strahl dort den Hochpunkt hat, kannst du davon ausgehen, dass dort der Anstieg (also die erste Ableitung=h'(x)) 0 ist --> h'(x)= 0

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Kommentar von Sagdaehich
06.09.2016, 09:51

danke, also bedeutet das, dass bei dem 1. h(0) = 1 der Autrittsort ist (da es dort entspringt und die Höhe 1m ist). Was ist aber mit dem 2. und 3.? Das heißt h'(3) ist mein Hochpunkt von 3m, aber wieso ergibt dies 0? Und was hat es mit h(3) = 2,5 auf sich?

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Das sind die Ableitungen. Wenn du einen Hochpunkt hast ist die Ableitung 0.

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Du hast eine Gleichung mit 3 Unbekannten a, b und c:

h (x) = ax^2 + bx + c

c findet man durch den Austrittsort: x=0, h (x)=1m

1 = a×0 + b×0 + c

c = 1

Am Punkt x=3m erreicht die Parabel den höchsten Punkt, d.h. hier ist die Ableitung h'(x)=0!

h'(x) = 2ax + b

h'(3) = 6a + b = 0

b = -6a

Außerdem kennst du die genaue Höhe:

h(3) = 2,5

2,5 = a×3^2 - 6a×3 + 1

1,5 = 9a - 18a 

1,5 = -9a

a = -1/6

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Kommentar von Sagdaehich
06.09.2016, 09:54

danke, das hat mir echt weitergeholfen, aber vl könntest du mir mein oberes Kommentar noch beantworten? 

"danke, also bedeutet das, dass bei dem 1. h(0) = 1 der Autrittsort ist (da es dort entspringt und die Höhe 1m ist). Was ist aber mit dem 2. und 3.? Das heißt h'(3) ist mein Hochpunkt von 3m, aber wieso ergibt dies 0? Und was hat es mit h(3) = 2,5 auf sich?"

ich würde nur eine Schritt für Schritt Erklärung brauchen wieso ich diese Zahlen so verwende.

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