Polynomfunktion aus Nullstellen herleiten, aber wie?

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4 Antworten

Sei mal vorsichtig mit den Namen. So wie du es schreibst, könnte man denken, die a, b und c seien dieselben. So ist es aber nicht. Die Nullstellengleichung heißt besser
(x -x₝) (x - x₂) (x -x₃) = 0
(Hier stehen echte Indizes. Wenn der Editor sie verfälscht, sie stehen in der Reihenfolge 1, 2, 3).

Die Klammern heißen Linearfaktoren, Und es gilt:
für die Lösung muss das Vorzeichen umgedreht werden.
Ist also die Nullstelle x = +2, heißt der Linearfaktor (x - 2).
Ist die NS x = -2, heißt der LF (x + 2).

Das Ausmultiplizieren ist langwierig. Erst zwei Klammern multiplzieren, dann die dritte mit dem Ergebnis. Sollten zwei Klammern mit dem 3. binomischen Gesetz zu berechnen sein, dieses unbedingt vorziehen. Es geht schneller. Z.B. (x +1) (x + 3) (x - 1) = (x² - 1) (x + 2)

Wenn man das Endergebnis mit einem beliebigen Faktor multipliziert, bleiben die Nullstellen erhalten. Das ist wichtig, wenn das Ergebnis öffnungsabhängig sein soll. Manchmal steht in der Aufgabe, dass ein bestimmter Verlauf herauskommen soll, z.B. durch Angabe eines Punktes.

du kannst die nicht vollständig rekonstruieren, aber a,b und c sind ja quasi die Nullstellen. musst dann ebend Koeffizientenvergleich machen, also das a von obenkriegst du nicht raus.

nix Trick; erst die beiden ersten Klammern malnehmen, dann die Lösung mit jedem der 3. Klammer malnehmen.

Wenn du

(x-a)(x-b)(x-c)

ausmultiplizierst, sieht du schnell, dass das gerade

x³ - (a+b+c) x² + (ab + bc + ac) x - (a * b * c)

ergibt - wenn du dir das merken kannst, musst du nicht extra die Klammern richtig ausmultiplizieren.

Und das hat System:

(x-a)(x-b) = x² - (a+b) x + ab

(x-a)(x-b)(x-c) = x³ - (a+b+c) x² + (ab + bc + ca) x - abc

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) =

x^4 -(a + b + c + d) x³ + (ab + bc + cd + da) x² - (abc + bcd + cda) x - abdc

usw. usw.

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Danke, genau das was ich wollte!!

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