Polynomdivison nur plus?

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7 Antworten

(2x³ + 33x² + 127x + 138) : (x + 2) =

Man überlegt zuerst, wie oft (x + 2) in das erste Polynom hineinpasst. Man betrachtet dabei stets die höchste Potenz aus beiden Polynomen. Hier 2x³ aus dem ersten und x aus dem zweiten Polynom. Das heisst 2x² ist das erste Glied unseres Ergebnisses.

(2x³ + 33x² + 127x + 138) : (x + 2) = 2x²

Wie bei der Division von Zahlen nimmt man nun den neuen Bestandteil des Ergebnisses (2x²) mal den Divisor (x+2) und schreibt ihn passend unter den Dividenden.

  (2x³ + 33x² + 127x + 138) : (x + 2) = 2x²

-(2x³ + 4x²)

 

Und so geht es weiter...

Ich faktorisiere Dir das Polynom einmal.

2 * x³ + 33 * x² + 127 * x + 138 = 2 * (x + 2) * (x + 3) * (x + 11.5)

Anhand der Darstellung als Produkt ist klar, dass man es durch (x + 2) teilen kann, oder? ;-)

Ich mache mal den ersten Schritt für dich:

(2x^3 + 33x^2 + 127x + 138) : (x+2) = 2x^2 + ...

-(2x^3+4x^2)

___________

           29x^2 + 127x + 138

Nun teile den neuen Ausdruck 29x^2 + 127x + 138 durch x+2. Am Ende sollte sich alles wegkürzen, falls die Rechnung aufgeht.

Ja ein Rest bleibt übrig.

(2x^3 + 3x^2 + 127x + 138) : (x + 2) = 2x^2 - x + 129 Rest -120
2x^3 + 4x^2
———————————————————————————
- x^2 + 127x + 138
- x^2 - 2x
————————————————————
129x + 138
129x + 258
———————————
- 120


P.S Ok falsche Aufgabe ;P

(2x^3 + 33x^2 + 127x + 138) : (x + 2) = 2x^2 + 29x + 69
2x^3 + 4x^2
————————————————————————————
29x^2 + 127x + 138
29x^2 + 58x
————————————————————
69x + 138
69x + 138
——————————
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Geh mal zum Oberprima und gib "Polynomdivision" ein.

Vorher rechne aber ein paar normale Divisionsaufgaben schriftlich, dann verknüpfst Du die Logik besser.

Bei thesimplemath gibt es sicher auch ein Video!

  Was ist Polynomdivision ( PD ) ?  ===> Ringe bzw. ===> Algebren , in denen PD funktioniert, heißen ===> euklidisch . Machen wir das erst mal mit ganzen Zahlen statt Polynomen .

    Wenn ich sage  4 711 : 815 = q Rest r 

   ( q wie " Quotient "  und r wie " Rest " )

    dann ist das definiert als

           4 711  =  815  q  +  r          (  1.1  )   ;  q  ,  r  €  |Z

    Ich bitte dich aber, einen Augenblick logisch zu denken .  ( 1.1 ) ist gewisser Maßen " eine Gleichung mit 2 Unbekannten "  ; so zu sagen die Definition von Rest r . Das ist aber Unsinn; wir wollen etwas Eindeutiges . Und eindeutig wird die PD in der Tat , wenn du den Rest r definierst über die Forderung r < q  Genauer :   Die PD von zwei ganzen Zahlen geht entweder glatt auf ohne Rest, d.h. also r = 0 . Oder es lässt sich immer erreichen, dass Rest r < q . Bei ganzen Zahlen entspricht der Algoritmus der PD der dir wohl bekannten schriftlichen Division, die ihr ja schon in der Grundschule hattet .

   Ich  schicke jetzt erst mal ab , weil dieser Editor so instabil ist; es folgt noch eine Ergänzung Teil 2 .

  Zunächst zu deiner Frage; fast hätte ich sie überlesen . Junge du bist genial; so Besserwisser wie du haben das Zeug zum Mathestudium; die mögen nämlich keine Überflieger; gerade die " Lieblinge vom Herrn Lehrer " kommen im Studium ganz schlecht an.

   Dir fällt nämlich auf, dass dein Polynom - du nennst es a ( x ) ; gestatte, dass ich es f ( x ) nenne - ÜBERHAUPT KEINE POSITIVEN WURZELN haben kann . Deine Frage ist nur zu berechtigt; wie soll denn die Summe aus 4 positiven Termen je Null ergeben ( !!! ??? )

    Ich verweise dich auf die cartesische Vorzeichenregel ( CV )  Hier ohne Witz ; im Diplom in Polynomalgebra konnte ich eine 1 Plus packen , ohne je von der CV gehört zu haben ... Auch dein Schrat enthält sie dir geflissentlich vor . Für x > 0 brettert die CV ja sofort auf deinen Entartungsfall; keine Wurzeln . Aber für x < 0 hast du Signatur

               (  -  ;  +  ;  -  ;  +  )          (  2.1  )

     Nach Adam riese und Eva Zwerg sind das aber DREI Vorzeichenwechsel. Mit SICHERHEIT verbirgt sich hier eine negative Wurzel; ob sogar 3 , darüber hüllt sich die CV allerdings in Sibyllinisches Schweigen.

      Ein Wermutstropfen; Junge du hast leider nicht Acht gepasst .  Der Linearfaktor ( LF )   ( x + 2 = 0 )  bedeutet doch x = ( - 2 ) , also MINUS 2 . Und diese negative Zahl käme ja noch immer als Wurzel in Frage; lassen wir uns überraschen .

Oben war die Rede von der Algebra |Z der ganzen Zahlen .  Und jetzt betrachten wir einen ===> Zahlenkörper ; bitte nicht erschrecken . Mit dem Begriff " Körper " meint die Matematik nichts weiter als eine Menge, auf der die vier Grundrechenarten ( Plus , Minus ; Mal und Geteilt durch ) unbeschränkt ausführbar sind . Für dich kämen da eigentlich nur in Frage die rationalen Zahlen |Q oder die reellen Zahlen |R .   In Zukunft will ich bloß abkürzend K schreiben ; statt K sagst du also immer |Q oder |R .

   Die Menge der Polynome über K bezeichnet man mit K [ x ] , wobei das x für die Variable x steht . Und K [ x ] stellt sich eben Falls als Euklidisch heraus . Aber oben hatten wir doch die Bedingung r < q ; was soll denn das heißen? Wann ist denn ein Polynom " kleiner " als ein anderes ?  Kennst du Feuerzangenbowle?

   " Onn da stellemer ons janz domm; unne sagemer so : Jedem Polynom kommt ja ein Grad zu . "

   Wenn ich Polynom f schriftlich teile durch Polynom g  , so ist es auch hier möglich, ( auf eindeutige Weise ) ein Quotientenpolynom  q so wie ein Restpolynom r anzugeben

              f  :  g  =  q  Rest  r         (  2.2a  )

     so dass analog  ( 1.1 ) gilt

          f  =  q  g  +  r        (  2.2b  )

       Und es gilt wieder folgende Alternative : Entweder geht die Division ohne Rest auf, also auch hier r = 0.  Oder es gilt die Gradbedingung

         Grad  (  r  )  <  Grad  (  g  )     (  2.2c  )

   An sich funktioniert PD von Polynomen genau wie bei Zahlen . Nur dass der zu der absoluten Größe einer Zahl analoge Begriff hier der Grad des Polynoms ist .

   Schau mal in Wiki ; Zahlen sind ===> vollständig geordnet ; von zwei Zahlen ist immer sofort klar, welche die kleinere und welche die größere ist .

   Aber wenn du Polynome nach ihrem Grad sortierst , dann ist das nur eine ===> Halbordnung ; zwei Poynome vom gleichen Grad müssen ja nicht identisch sein . Du siehst ; Halbordnungen sind trotzdem wichtig . Für PD reicht die Halbordnung über die Gradfunktion allemal aus .

    In unserem Falle gilt

  Grad ( f ) = 3 ; Grad ( g ) = 1 ===> Grad ( q ) = Grad ( f ) - Grad ( g ) = 2      (  2.3  )

    Sollte die PD aufgehen, so ist natürlich r = 0 .  Beachte bitte , dass wir hier eine PDLF  haben; also das Nennerpolynom ist stets linear , vom Grade Eins . Dann folgt aber aus ( 2.2c ) , dass r bei PDLF IMMER EINE c-ZAHL sein muss . Denn ein Polynom vom Grade < 1 ist ein Polynom vom Grade Null; und das ist nichts weiter als eine Zahl ( Mach dir das bitte klar. )

   Da gibt es übrigens eine hoch berühmte Rechnung ; du findest sie in sämtlichen Hochschulskripten über Algebra .  Was ist denn der genaue Wert von r in ( 2.2b ) ? Wir hatten gesagt, die ( eindeutige ) Nullstelle von g ( x ) ist in deinem Fall Minus  2 ; und das setzen wir ein in ( 2.2b )

           f  (  -  2  )  =  r      (  2.4  )

    weil g verschwindet ja . Der REST BEI PDLF IST IMMER DER FUNKTIONSWERT von f in der Polstelle von g .

   Zunächst eine einführende Betrachtung; hast du das ===> Hornerschema drauf? Jetzt bitte nicht autoritär reagieren; " der Lehrer hat mir verboten, dass ich irgendwas lerne, was noch nicht dran war " Weil Onkel Horner können hier wirklich alle; siehe Wiki . Das ist überhaupt kein Akt; so Kettenaufgaben habt ihr euch gegenseitig schon in Kl. 4 gestellt . Was du unbedingt lernen solltest: Wie du einen Magnetstreifen auf deinem TR mit Horner programmierst.

    Beherrschst du eine Programmiersprache? Dann schreib doch mal eine Hornerroutine; musste ich im Job übrigens auch tun .

   ( max Zeichen; es folgt noch ein Teil 3 )

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@gilgamesch4711

Junge du lebst in aufregenden Zeiten; hier im Internet werden Entdeckungen gemacht, von denen kein Hochschulprof auch nur etwas ahnt - geschweige dein Lehrer . Horner und PDLF stellt sich ALS DAS SELBE IN GRÜN heraus .

   Ich hatte hier schon den Kommentar

  " Während sich der Schrat da vorne  eine gee-schlaa-ge-ne Viertelstunde abmüht mit seiner gefic kten PD ; habe ich das Ergebnis in einer Minute im Kopf . Wie das geht? Das verrate ich euch nur, wenn ihr mich alle darum bittet; aber schööön höööflich ... "

   Eines lässt sich mit Sicherheit sagen; PD ist ein verrostetes, ungeöltes Zahnradgetriebe .  Im Vergleich verhält sich Horner modern , flott, jugendlich, progressiv und dynamisch .

   Ich notiere jetzt mal dein Polynom; hätten wir längst mal machen sollen

         f  (  x  )  =  a3  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0            (  3.1a  )

      a3  =  2  ;  a2  =  33  ;  a1  =  127  ;  a0  =  138        (  3.1b  )

    Ich hab das absichtlich so zweizeilig geschrieben .   Gleich als Erstes mach dir bitte klar: Hättest du noch nie von Horner gehört und müsstest du f ( - 2 ) IM KOPF bestimmen mittels deiner originalen Darstellung mit diesen ganzen Potenzen . Es wäre doch recht mühsam .

   Dagegen mit Horner ist es ja nur eine Folge von Additionen und Multiplikationen ; begabte Kopfrechner schaffen das in 5 sec . Machbar sein sollte es aber doch in spätestens 10 sec  ( Peinlich für mich ; ich hatte immer noch einen Rechenfehler ; ich hatte mich  um Zehn verrechnet ... )

    Was ist nun bei Horner anders als bei PDLF ? Der einzige Unterschied besteht darin, dass du dir einen Schmierzettel, ein Memory, zu Recht legst, auf den du die ganzen ZWISCHENERGEBNISSE PROTOKOLLIERST . Die sind nämlich Wert voll; die darfst du nicht in den Müll tun . Die Zahlenfolge auf diesem Schmierzettel sind die KOEFFIZIENTEN von q .

   Warum ich dir geraten hatte, mal eine Hornerroutine zu programmieren . Eine allgemeine PD zu schreiben, halte ich für sehr Anspruchsvoll . Aber deine PDLF geht  so, dass du den ARBEITSVEKTOR der Hornerroutine AN DAS RUFENDE PROGRAMM ZURÜCK GIBST . ( Im Hinblick auf die IBM Mathematik Library belehrte mich mein Chef übrigens, dies entspreche allgemein gutem Programmierstil . )

   Wir sind uns ( hoffentlich ) einig , dass bei PD das Faktorpolynom q in ( 2.2b ) auch dann wohl definiert ist, wenn die PD nicht aufgehen sollte ( Analog existiert der ( ganzzahlige ) Quotient aus zwei ganzen Zahlen selbst dann, wenn die Division einen Rest über lässt. ) ( Nur weil du dich in deiner Frage so verwirrt gibst . )

   Die Anhänger jener wie gesagt völlig neuartigen Hornerprozedur führen nun auf sämtlichen Internetportalen folgendes Argument ins Feld:

   " Wenn ich mich überzeugen will, dass die ( geratene ) x0 tatsächlich Nullstelle von f ( x ) ist. Dann muss ich schließlich das Hornerschema von f ( x0 ) durchlaufen. Und anschließend ist gefordert PDLF  durch ( x - x0 )  Kann mir einer sagen, warum ich mich dieser PDLF unterziehen soll? Die fliegt mir doch schon mit dem Hornerschema als gebratene Taube in den Mund. "

   Bei Lichte besehen, verbirgt sich hinter Horner doch weiter nix als eine endliche ===> Zahlenfolge ; mach dich bitte vertraut mit der Nomenklatur, wie man Folgen notiert . In deinem Sonderfall ( 3.1ab ) mit x = ( - 2 )

      p  <  n  >  (  f  ;  -  2  )     ;  n  =  3  ,  ...  ,  0        (  3.2a  )

      p0  (  f  ;  -  2  )  =  f  (  -  2  )       (  3.2b  )

     In ( 3.2b ) " kommt das selbe raus ) wie in ( 2.4 ) - Zufall ? ( Dort war der Rest r gleich dem Funktionswert f ( - 2 ) )

   Das ist genau der Punkt; die epochale Entdeckung lautet: die Gleichheit von ( 2.4 ) mit ( 3.2b ) ist nur ein Sonderfall;  in der Notation ( 2.2b;3.1b;3.2a ) lautet das allgemeine Gesetz

       p3;2;1  (  f  ;  -  2  )  =  a2;1;0  (  q  )       (  3.3  )

      Das Hornerschema kann ich euch gerne vorführen; zum Leben erwecken müsst es aber ihr. Dass ist so, wie eine Chopinpartitur ja auch noch lange nicht hinreicht, um spielen zu können.

    p3 ( f )        = a3 ( f )                                  =   2 = a2 ( q )             (  3.4a  )
    p2 ( f ; - 2 ) = a2 ( f ) - 2 p3 =   33 - 2 * 2   = 29 = a1 ( q )             (  3.4b  )
    p1 ( f ; - 2 ) = a1 ( f ) - 2 p2 = 127 - 2 * 29 = 69 = a0 ( q )             (  3.4c  )
    p0 ( f ; - 2 ) = a0 ( f ) - 2 p1 = 138 - 2 * 69 =   0 = f ( - 2 )              (  3.4d  )

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So, es ist absolut egal ob da nur plus ist oder gemischt. 

Ich sag dir jetzt was du machst, und zwar guckst dir jetzt einfach dieses Video an: 


Hab die Polynomdivision davor gar nicht verstanden, jetzt ist das richtig easy. Zieh's dir rein

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