Polynomdivision mit zweiter variable?

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5 Antworten

Bei einer Kurvenschar muss man für eine Polynomdivision noch mehr vermuten als ohnehin schon bei einer solchen.
Man hofft dann, dass die Nullstelle einfach ist, z.B. x = 1.

Setzt man x = 1 ein, ergibt sich:
2 - 1 + a - 4 = 0
Das wäre dann eine Bestimmungsgleichung für a.
a = 3

Damit hätten wir immerhin eine Kurve aus der Schar gefunden, die eine 1 zur Nullstelle hätte. Für die Division durch den Linearfaktor (x-1):
(2x² - x² +  3x - 4) / (x - 1)  =  2x² + x + 4

Es wäre ein noch schöneres Beispiel gewesen, wenn die anderen beiden Lösungen auch noch reell gewesen wären.

Untersucht man das Beispiel weiter, findet man auch noch andere aus der Schar (nicht viele), die Nullstellen haben, z.B.
fa(x) hat für a = -4 eine Nullstelle bei x = 2, die man nun auch weiterrechnen könnte.
Das kannst du ja machen, wenn du willst.

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KDWalther 09.01.2016, 00:30

Schöner Ansatz!

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Eine mögliche Nullstelle mus auf jeden Fall in irgendeiner Weise von a abhängen. Soweit ist mir (und Dir?) das klar.

Doch mir fehlt jede Ahnung, wie Du hier (händisch) eine Nullstelle finden kannst. Und da auch mein CAS sich weigert, eine Nullstelle zu bestimmen, kommt bei mir die Frage auf: Musst Du wirklich Nullstellen bestimmen oder geht es in der Aufgabe evtl. um andere Dinge (z.B. "Für welche Werte von a hat die Funktion Extremstellen?" Das wäre nämlich lösbar und sinnvoll :-) ).

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ReterFan 08.01.2016, 20:53

Lösbar müsste die Aufgabe hier eigentlich auch sein. Nur wird in den Lösungen definitiv noch ein a vorkommen. 😅 ich versuche es mal zu rechnen

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KDWalther 09.01.2016, 00:29
@ReterFan

Und, hast Du was heraus gefunden?

Ich habe grad die Funktion mal in GeoGebra eingegeben und mir per "Animation ein" verschiedene Funktionen zeichnen lassen. Da sieht man schnell, dass es nur einige ausgewählte Funktionen aus der Schar gibt, die mal eine ganzzahlige Nullstelle besitzen (vgl. Ansatz von Volens). Für -20 < a < 20 sind es mal grad 3 dieses Typs.

Damit kannst Du die Suche nach Nullstellen wohl "knicken", um's mal unmathematisch auszudrücken. :-)

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a ist ein Parameter, daher wie eine Zahl zu behandeln. Mach die Polynomdivision wie gewohnt. Ich weiß nicht was rauskommt, im Notfall ist auch a bei der Nulstelle dabei. Vielleicht lässt sich mit den beiden Lösungen der quadratischen Glg auch ein lineares Glg-System bilden. 

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Polynomdivision ist in diesem Fall doch nicht sinnvoll, da ja beide Ausdrücke ein x enthalten. Du kannst die Gleichung also auf null setzen, null ausklammern und mit der pq Formel oder so weitermachen, wo dann ein von a abhängiges Ergebnis rauskommen müsste.

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HapsHaps 08.01.2016, 18:08

du musst doch polynomdivision machen, hatte mich verlesen, sry

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MeRoXas 08.01.2016, 18:09

Wo ist bei -4 das x?

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Ich versuche es mal. Antworte nur schon, damit ich die Frage dann wiederfinde ^^

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