polynomdivision mit brüchen und translation,asymptoten?

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3 Antworten

Hallo,

die Asymptote ist in Deinem Fall y=1/2.

Du bekommst sie heraus, wenn Du die höchsten x-Potenzen der Funktion teilst, in diesem Fall also 2x/x.

Dann gibt es bei x=1 noch eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel, weil der Nenner für x=1 Null wird.

Für x=1+h (h ist ein sehr kleiner Wert nahe Null), wird die Funktion positiv, für 
x=1-h wird sie negativ, weil der Zähler in beiden Fällen positiv ist und der Nenner im ersten Fall negativ, im zweiten positiv ist.

Eine Nullstelle befindet sich bei x=0

Du hast also zwei Hyperbeläste. Der linke bleibt unterhalb von y=1/2, durchschneidet im Ursprung die x-Achse und fällt dann vor x=1 ins negative Unendliche; während der andere rechts von x=1 im positiven Unendlichen beginnt und sich dann der Asymptote y=1/2 von oben nähert.

Herzliche Grüße,

Willy

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Also angenommen du hast jetzt eine Gleichung der Form:

f(x) = x/(2(x-1)) 

Und du wendest auf diese nun die Polynomdivision an, so machst du ja Folgendes:

x : (x-1) = 1 + 1/(x-1)

-(x - 1)

 ---->   Rest =  1 

Jetzt stört uns jedoch der Rest in unserer Gleichung, aber es fällt auf, dass in dieser Form nun leicht das Verhalten für +/- inf  bestimmt werden kann. Da ja gilt:  lim 1/(x-1) ---> x --> +/- inf ---> = 0  

Dieser Rest nähert sich der Null an für x gegen +/- unendlich. Dies bedeutet im Endeffekt, dass von deiner Gleichung:

f(x) = 1/2 *(1 + 1/(x-1))   nach dem Limes nur noch g(x) = 1/2 *(1)  übrig bleibt. Somit kannst du also sagen, dass sich f(x) immer näher an g(x) = 1/2 annähert für genügend große x. Also ist die Asymptote der Grenzwert der durch Polynomdivision bestimmten Gleichung. 

Man kann das aber auch schon direkt am Term ablesen, es gilt nämlich:

f(x) = (a*x^n + ... + c)/(d*x^n + ... + z) 

Die Gleichung der Asymptote dafür lautet g(x) = a/d 

(Falls der Grad der Polynome im Zähler und Nenner gleich sind)

Weitere Ausführungen dazu mit Beispielen gibt es hier:

http://www.mathebibel.de/asymptote 

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Eine Translation bewirkt die Verschiebung des Funktionsgraphen in Richtung der y-Achse. Du erreichst sie durch Addition einer Zahl zum Funktionsterm.

Asymüptoten sind die Graphen, denen sich ein Funktionsgrah im Unendlichen annähert.

Eine Polynomdivision ist bei deinem Beispiel nicht duirchführbar.

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Kommentar von poseidon42
22.01.2016, 15:10

Natürlich ist sie hier durchführbar:

f(x) = 0.5*(x/(x-1)) 

x : (x - 1) = 1 + 1/(x-1)

-(x-1)

---> Rest 1 

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