Polynom 3. Grades. Nullstellen ausschließen?

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3 Antworten

f(c) = 15 * c ^ 3 + c ^ 2 - 129 * c - 9

Erst mal eine Wertetabelle aufstellen (gerundet reicht völlig aus) :

-5 | -1214

-4.5 | -775

-4 | - 437

-3.5 | -188

-3 | - 18

-2.5 | 85

-2 | 133

-1.5 | 136

-1 | 106

-0.5 | 54

0 | -9

0.5 | -71

1 | -122

1.5 | -150

2 | -143

2.5 | -91

3 | 18

3.5 | 195

4 | 451

4.5 | 798

5 | 1246

Du kannst erkennen, dass es 3 Vorzeichenwechsel gibt :

Einmal zwischen x = -3 und x= -2.5

Einmal zwischen x = -0.5 und x = 0

Einmal zwischen x = 2.5 und x = 3

Die Nullstellen liegen leider nicht an ganzen Zahlen für x ,deshalb das Newton-Verfahren anwenden oder Fixpunktiteration.

Nach beidem kannst du im Internet googeln.

Das Newton-Verfahren wurden auch auf Gutefrage.net sehr oft erklärt :

https://www.gutefrage.net/suche?q=Newton-Verfahren

Wenn du da mal durchblätterst wirst du früher oder später eine Frage finden, wo das erklärt wurde.

Zur Fixpunktiteration gibt es hier auf Gutefrage.net auch was zu finden :

https://www.gutefrage.net/suche?q=Fixpunktiteration

Zu deiner Aufgabe :

c_1 -2.93098789783489

c_2 ≈ -0.0697691979440286

c _3 2.93409042911225

Nur c_2 liegt zwischen 0 < c < 1

Ohne Taschenrechner wird es aber lästig.

Kannst auch mal nach Cardanische Formeln googeln, habe es aber nicht überprüft, ob man dein Beispiel damit bequem oder überhaupt ohne Taschenrechner oder per Hand berechnen kann :

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische\_Formeln

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Kommentar von DepravedGirl
14.07.2017, 16:11

Anmerkung, ich habe noch mal länger darüber nachgedacht :

Für eine Rechnung per Hand, also ohne Taschenrechner, käme wohl am ehesten ein Intervallschachtelungsverfahren in Frage :

https://goo.gl/FW8Lww

Aber selbst das würde ich eher als lästige Rechnerei empfinden.

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Kommentar von arcos2pi
14.07.2017, 16:22

Eure Antworten haben bei mir die lösung aufploppen lassen!!
f(0)=-9 und f(1)<-9
die extrema lassen sich leicht berechnen. Minimum liegt zwischen
0 und 1. Da f(1)<f(0), kann die Funktion  zwischen 0 und 1 nicht größer als -9 werden.

Danke für den Anstoß

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Weißt du schon, was Ableitungen sind? Wenn ja, gäbe es noch folgende Möglichkeit:

Du könntest zunächst die entsprechende Funktion an der Stelle Null auswerten. -> f(0) = -9

Wenn die Funktion nun monoton fallend im Intervall ]0;1[ ist, hat sie dort sicher keine Nullstelle.

f'(c) = 45c²+2c-129

f'(c) = 0

-> c1 = [-2+sqrt(4+4*45*129)]/90 > [-2+sqrt(129²)]/90 > 1 
-> c2 = [-2-sqrt(4+4*45*129)]/90 < 0

Die Funktion ändert im Intervall ihr Monotonieverhalten nicht.

Mit f'(0,1) = 0,45+0,2-129 < 0  folgt, dass die Funktion dort steng monoton falend ist. Daraus ergibt sich, dass hier keine Lösung existieren kann.

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Kommentar von arcos2pi
14.07.2017, 16:28

Vielen Dank, ich bin wie ich unten schon kommentiert habe auf selbige Lösung gekommen. Das Stichwort Vorzeichenwechsel hats gemacht :D

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hast du es schon mit einer polynomdivision ausprobiert?

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Kommentar von arcos2pi
14.07.2017, 16:22

viel spaß beim nullstellenraten...

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