Poisson Verteilung: Kundenaufhagabe?

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2 Antworten

Hallo,

wenn der Erwartungswert bei 25 Kunden in einer Stunde liegt, sind es in 12 Minuten, also 1/5 Stunde, logischerweise 5 Patienten.

Dafür brauchst Du die Formel der Poisson-Verteilung nicht.

Die Formel brauchst Du, wenn Du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen willst, daß eine bestimmte Anzahl von Kunden innerhalb eines bestimmten Zeitraums den Laden betritt, wenn der Erwartungswert bekannt ist.

Du könntest bei einem Erwartungswert von 5 innerhalb von 12 Minuten etwa bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, daß in den nächsten 12 Minuten nur 3 Kunden kommen oder 7 oder überhaupt keiner.

Herzliche Grüße,

Willy

offensichtlich musst du doch den Mittelwert berechnen. Hast du das schon versucht? Ich kann dir sofort die Antwort geben — die kannst du auch googeln. Doch lohnen würde sich das nicht. Du erhältst keinen Erkenntnisgewinn. Versuche es halt, die unendliche Reihe für den Erwartungswert zu berechnen.

Der Erwartungswert ist u=25
Ich glaube das ist nur einsetzen in die formel
Oder irgendwas mit den Stunden und Minuten ....

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@Mindfreak87

Die Erklärung von Willy liegt schon richtig: sein Ansatz ist der Beste. Der Poisson-Prozess ist „additiv“: Betrachte die ZV P(t) = Anzahl der Ereignisse in [0, t). Dann gilt P(s+t) – P(s) ~ P(t). Daraus ergibt sich 𝔼[P(t)] = t·𝔼[P(1)] = ηt, wobei η := 𝔼[P(1)].

Darum haben wir u = 𝔼[P(60)] = 60η, während wir 𝔼[P(12)] = 12η rausfinden wollen. Also η = u/60 und 12η = u/5 = 5 Kunden.

Falls man sich der Additivitätseigenschaft nicht bewusst ist, dann berechnet man direkt den Erwartungswert:

𝔼[P(t)] = ∑ x·λ^x / x! exp(–λ) von x=0 bis ∞
= ∑ x·λ^x / x! exp(–λ) von x=1 bis ∞
= ∑ λ^x / (x–1)! exp(–λ) von x=1 bis ∞
= ∑ λ^(x+1) / x! exp(–λ) von x=0 bis ∞
= λ·exp(–λ)·∑ λ^x / x! von x=0 bis ∞
= λ·exp(–λ)·exp(λ) = λ,

wobei λ = ηt. Also 𝔼[P(t)] = λ = ηt wie oben.

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