Sind ungedämpfte Schwingungen dasselbe wie harmonische Schwingungen?

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4 Antworten

Sind ungedämpfte Schwingungen dasselbe wie harmonische Schwingungen?

Nein, »ungedämpft« und »harmonisch« sind zwei verschiedene Kategorien:

Wann heißt eine Schwingung harmonisch?

Eine (mechanische) Schwingung (etwa eines Federpendels) ist harmonisch, wenn es eine Rückstellkraft F gibt, die proportional zur Auslenkung x ist:

(1.1) F = m·a(t) = m·ẍ(t) = –D·x(t) ⇔ ẍ(t) = –(D/m)·x(t)

Dabei ist D die Härte der Feder und bezeichnet die Schreibweise

(1.2) ẋ(t) = dx(t)/dt = (d/dt)x(t)

die so genannte Ableitung der Auslenkung nach der Zeit, d.h. ihre momentane zeitliche Änderungsrate, was nichts anderes als die Momentangeschwindigkeit ist, und

(1.3) ẍ(t) = d²x(t)/dt² = (d/dt)²x(t)

bedeutet dementsprechend Momentanbeschleunigung, also die zeitliche Änderungsrate der zeitlichen Änderungsrate der Auslenkung.

Wahrscheinlich greife ich hier dem Unterrichtsstoff etwas vor, da zumindest wir in der Mittelstufe noch nicht gelernt haben, was mit »Ableitung« in diesem Sinne gemeint ist. Ich hoffe, es einigermaßen verständlich erklärt zu haben. 

Wenn man nun weiß, dass für eine Variable φ

(2.1) (d/dφ)²sin(φ) = (d/dφ)cos(φ) = –sin(φ)
        (d/dφ)²cos(φ) = –(d/dφ)sin(φ) = –cos(φ)

und damit

(2.2) (d/dt)²sin(ωt) = (d/dt){ω·cos(ωt)} = –ω²·sin(ωt)
        (d/dt)²cos(ωt) = (d/dt){–ω·sin(ωt)} = –ω²·cos(ωt)

ist, versteht man sofort, warum harmonische Schwingungen einen Sinus- bzw. Cosinsförmigen Verlauf zeigen und dabei

(2.3) ω = √{D/m}

ist, also z.B.

(3) x(t) = x̂·sin(t·√{D/m}),

wobei x̂ die Amplitude heißt.

Wenn die Beziehung (1.1) nicht gilt, d.h. es eine Rückstellkraft gibt, die aber nicht proportional zur Auslenkung sind, ist die Schwingung anharmonisch. Dies ist beispielsweise bei einem Fadenpendel mit

(4) φ̈(t) ~ sin(φ(t))

der Fall, wobei deren Abweichung von der harmonischen Schwingung freilich stark vom Auslenkungswinkel abhängt. Bei hinreichend kleinen Winkeln φ ist nämlich sin(φ) ≈ φ. 

Wann heißt eine Schwingung ungedämpft/gedämpft?

Eine Schwingung ist ungedämpft, wenn nicht Reibungskräfte dem System Energie entziehen, indem sie aus geordneter Bewegung ungeordnete (nämlich Wärmebewegung) machen. Somit ist die Summe aus potentieller und - geordneter - kinetischer Energie und die Schwingungsamplitude x̂ konstant.

Gedämpfte Schwingungen lassen sich durch einen Dämpfungsparameter δ beschreiben, denn im Regelfall nimmt die Amplitude x̂ exponentiell, d.h. in gleichen Zeiten um denselben Faktor ab, was sich bei der harmonischen Schwingung (3) als

(4) x(t) = x̂·sin(t·√{D/m})·e^{–δ·t}

ausdrücken lässt. Die Zeitfunktion e^{–δ·t} bildet eine Hüllkurve um die Schwingung.

Unten muss es präziser heißen:

(5) x(t) = x̂(t=0)·sin(t·√{D/m})·e^{–δ·t}

ausdrücken lässt. Die Zeitfunktion

x̂(t) = x̂(t=0)·e^{–δ·t}

bildet eine Hüllkurve um die Schwingung.

Schließlich nimmt die Amplitude ja ab.

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Harmonische Schwingungen sind dasselbe wie monochromatische Schwingungen / Schwingungen mit nur einer Frequenz / frequenzreine Schwingungen.

Ungedämpfte Schwingungen können auch Überlagerungen mehrere Frequenzen sein. (Z. B. Doppelpendel, Obertöne einer Pfeife / Saite)

Eine harmonische Schwingung kann auch gedämpft sein (Suche nach Stichwort "gedämpfter harmonischer Oszillator" liefert genug Treffer)

Mit anharmonischen gedämpften Schwingungen  brauchst du aber in der Schulphysik nicht zu rechnen. (Es sei denn, euer Lehrer beschließt, das als Sonderthema zu behandeln.)

Harmonisch bedeutet, dass die Frequenzen in jeder Periode übereinstimmen.

Bei einer ungedämpften Schwingung, kann diese auch abweichen, erhält sich im Vergleich zu einer gedämpften Schwingung allerdings selbst.

Hallo!

Gedämpfte Schwingungen sind nicht harmonisch. Das merkt man nicht nur an der Abweichung zur Sinusfunktion, auch die Maxima sind an anderer Stelle. (Starke Dämpfungen ganz beiseite.) mfG!

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