Physik harmonische Schwingungen: Wie komme ich auf eine Winkel- und Bahngeschwindigkeit?

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4 Antworten

Es gibt ja die allgemeine Formel für die harmonische Schwingung.

Ja, nämlich

(1) q(t) = q₀·sin(𝜔t + 𝜑₀),

wobei q₀ die Amplitude der Schwingung ist und der Buchstabe q für engl. quantity, Größe, steht.

Es kann sich dabei um sehr unterschiedliche Größen handeln: Eine Auslenkung aus der Ruhelage in cm, ein Winkel oder die dazugehörige Strecke bei einem Torsionspendel, eine elektrische Feldstärke (in kohärenten elektromagnetischen Wellen, an einem bestimmten Ort x), der Druck in einer Schallwelle, ebenfalls an einem Ort x. Mithin kann

(2) q̇(t) = dq(t)/dt = q₀·𝜔·cos(𝜔t + 𝜑₀)

eine Bahngeschwindigkeit sein oder auch eine Winkelgeschwindigkeit oder etwas ganz Anderes.

Eine allgemeine, für alle harmonischen Schwingungen gültige Vorschrift, hieraus eine Winkelgeschwindigkeit zu errechnen, gibt es nicht.

Beim Federpendel, von der Ruhelage aus gesehen, gibt es z.B. keine Winkelgeschwindigkeit, beim Torsionspendel kannst Du als q den Auslenkungswinkel oder die Auslenkungs-Bogenlänge nehmen, in einem Fall ist q̇ eine Bahngeschwindigkeit in m/s, im anderen Fall eine Winkelgeschwindigkeit in rad/s (keinesfalls 1/rad!).

Und müssen phi0 und die Amplitude in der Formel nicht identisch sein?
phi0 beschreibt doch anschaulich die Auslenkung zum Zeitpunkt t=0s.

Wenn Du die harmonische Schwingung auf ein Torsionspendel spezifizierst und q in 𝜑 umbenennst (dann musst Du freilich den Phasenwinkel, der in (1) 𝜑₀ heißt, in z.B. α₀ umbenennen, damit nicht ein Formelzeichen für Verschiedenes steht), sodass (1) zu

(3) 𝜑(t) = 𝜑₀·sin(𝜔t + α₀)

wird, hat 𝜑₀ schon nach Definition die Bedeutung einer Amplitude.

Wenn 𝜑₀ tatsächlich die Bedeutung hat, die es in (1) hat, auf gar keinen Fall. Dann nämlich ist 𝜑₀ trotz seines Namens überhaupt kein Winkel im eigentlichen Sinne, sondern nur als Winkel veranschaulicht. Du bist Opfer des Wordings geworden.

Das 𝜑₀ in (1) beschreibt keinesfalls die Auslenkung bei t=0 - das macht q(𝜑₀) - und auch nicht die Amplitude - das macht q₀ - sondern die Phase, in der sich die Schwingung dann befindet.

Ist 𝜑₀ (in (1)) gleich 0, dann durchläuft die Schwingung gerade einen Nulldurchgang. Energie braucht nicht hinzugefügt zu werden, weil die kinetische Energie zu diesem Zeitpunkt maximal ist.

Willst Du den Anfang der Schwingung als »Auslenken und Loslassen« beschreiben, so musst Du entweder den Sinus durch den Cosinus ersetzen oder 𝜑₀ = ½π setzen, was auf's Selbe hinausläuft.

Kommentar von xy121
30.04.2016, 20:21

Erstmal Danke! Also zurück zu deinem Beispiel. Sind die Ergebnisse, wenn ich den Auslenkungswinkel oder die Auslenkungs-Bogenlänge angebe nicht beide in rad/s? Meiner Meinung nach können die doch gar nicht in m/s sein.

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Kommentar von SlowPhil
30.04.2016, 21:47

Wenn q für den Auslenkungswinkel steht, ist dq/dt eine Winkelgeschwindigkeit. Dann ist [q] = rad [dq/dt] = rad/s. Jetzt gibt es beim Torsionspendel natürlich auch einen Radius r, und wenn Du q und dq/dt jeweils mit r multiplizierst, erhältst Du eine in m bzw. m/s zu messende Größe. Der Nullphasenwinkel ist jedenfalls nicht die Amplitude, der gehört ja zum Argument.

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Kommentar von xy121
30.04.2016, 23:08

ok dank dir!

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Ich nehme an, du sprichst vom gedämpften mathematischen Pendel aka Fadenpendel. Die Bewegungsgleichungen sind ja in der Form φ(t) = ... gegeben. Das heißt die erste Ableitung nach der Zeit ist dφ/dt und das ist wiederum die Definition der Winkelgeschwindigkeit. Die Bahngeschwindigkeit erhältst du mit der Formel v = ωr.

Kommentar von xy121
29.04.2016, 20:13

Ne eigentlich von einem Feder-Masse-System oder einem Torsionspendel. Die sind doch ungedämpft und quasi reibungsfrei oder? Also wenn ich von x(t)=amplitude*sin(w0*t+phi0) ausgehe? Dann kommt ja die Auslenkung in m raus. Wenn ich die Funktion ableite kommt die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit entweder in m/s oder in 1/s raus???

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Kommentar von ELLo1997
29.04.2016, 20:20

Das kommt jetz wirklich auf die Form deines Pendels an, ein Federpendel führt natürlich eine lineare Bewegung aus => daher Geschwindigkeit in m/s. Wenn du den Ort deiner Auslenkung hingegen mit einem Winkel beschriebst, dann wird die Geschwindigkeit natürlich zur Winkelgeschwindigkeit, ergo rad/s. Es ergibt sich eigentlich aus der Ortsfunktion.

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Kommentar von ELLo1997
29.04.2016, 21:11

Wenn die Ortsfunktion die Einheit rad hat, dann ja.

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Kommentar von xy121
29.04.2016, 21:17

aber um die erhaltene Größe, sei es in 1/s oder in m/s in die jeweils andere umzurechnen, kann ich immer die Formel v=r*omega benutzen?

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Geht es um ein Federpendel?

Kommentar von xy121
29.04.2016, 20:11

ja z.B. warum? ist es z.B. bei einem Torsionspendel anders? Also wenn ich von x(t)=amplitude*sin(w0*t+phi0) ausgehe? Dann kommt ja die Auslenkung in m raus. Wenn ich die Funktion ableite kommt die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit entweder in m/s oder in 1/s raus???

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Bahngeschwindigkeit: Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit, Einheit m/s.

Winkelgeschwindigkeit: Ableitung des Polarwinkels, Einheit rad/s.

Die zweite Ableitung gibt jeweils Bahnbeschleunigung oder Winkelbeschleunigung mit den Einheiten m/s^2 und rad/s^2.

Kommentar von xy121
29.04.2016, 20:12

Also wenn ich von x(t)=amplitude*sin(w0*t+phi0) ausgehe? Dann kommt ja die Auslenkung in m raus. Wenn ich die Funktion ableite kommt die Geschwindigkeit zu einer bestimmten Zeit entweder in m/s oder in 1/s raus???

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