partielle integration funktioniert nicht

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3 Antworten

mit deiner Wahl kommst du nicht weit, weil du dich im Kreis drehen wirst;

v nimmt man für den Term, der irgendwann ne Konstante beim Ableiten ergibt;

v=x² und v ' = 2x und v " = 2

also hier 2 mal die partielle anwenden.

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Die Konstante "C" bedeutet in meiner Darstellung nicht immer die gleiche Zahl; bei Umformungen müsste streng genommen in jeder Zeile eine neue Variable stehen; das ist mir aber zu unübersichtlich.


Produktregel für das allgemein gefasste Produkt e^x f(x):

( e^x *f(x) ) ' = e^x * f(x) + e^x f'(x) ; | ∫

Der Hauptsatz der Differentialrechnung macht daraus eine hier passende Formel der partiellen Integration:

e^x f(x) = ∫ e^x f(x) dx + ∫ e^x f'(x) dx ; (1)

  • (1) ergibt mit f(x) = x², f'(x) = 2x

e^x x² = ∫ e^x x² dx + 2 ∫ e^x x dx ; (2)

  • (1) mit f(x) = x, f'(x) = 1:

e^x x = ∫ e^x x dx + ∫ e^x 1 dx = ∫ e^x x dx + e^x + C

nach dem Integral auflösen:

∫ e^x x dx = e^x (x -1) + C

in (2) einsetzen:

e^x x² = ∫ e^x x² dx + 2 ( e^x (x -1) ) + C

nach dem Integral auflösen:

∫ e^x x² dx = e^x (x² -2x +2) + C;


Probe:

( e^x (x² -2x +2) + C ) ' =

e^x (x² -2x +2 +2x -2) = e^x x², q.e.d.


Verallgemeinerung: Wenn die Funktion f(x) nur endliche viele von der Nullfunktion verschiedene Ableitungen hat (wie z.B. alle ganzrationalen Funktionen endlicher Ordnung), gilt:

∫ e^x f(x) dx = e^x( f(x) - f'(x) + f''(x) - f'''(x) + ... - ... + 0 ) + C.

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Du musst die Produktintegration zweimal durchführen, damit das x verschwindet.

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