Partialbruchzerlegung: Muss der Zähler immer die Ordnung 1 haben?

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3 Antworten

Hallo,

die höchste Potenz im Zähler muß kleiner sein als die höchste Potenz im Nenner, dazu darf die höchste Potenz im Nenner keinen von 1 verschiedenen Faktor haben.

Außerdem muß der Nenner in einzelne Faktoren zerlegt werden.

Sind diese Voraussetzungen nicht gegeben, läßt sich kein Koeffizientenvergleich durchführen, der für diese Methode typisch ist. Schließlich geht es letztlich darum, einen komplexen Bruchterm in mehrere Einzelterme umzuwandeln, die dann einfacher oder überhaupt zu integrieren sind.

Herzliche Grüße,

Willy

f(x)= x^2 / (x^2-2*x-3)= x^2 : (x^2-2*x-3= 1 +  ((2*x +3)/(x^2-2*x - 3))

Dies ist eine Zahl der Form 1 + 2/4

x^2 - 2 *x -3 Nullstellen bei x1= 3 und x2= - 1

Partizialbruchzerlegung : Ansatz aus den Mathe-Formelbuch

2 *x + 3) / (x^2-2*x -3)= A/(x - x1) + B/(x-x2) = A/(x-3) + B/ ( x +1) 

ergibt 2*x  +3= A*(x+1) + B*(x-3)= A+B) * x + (A -3*B)

Nun Koeffizientenvergleich gleicher Potenzen von x ergibt

2 * x^1 + 3 *x^0 =(A+B)*x^1 + (A - 3*B) * x^0

ergibt 2 Gleichungen

1. 2= A +B und  ergibt A= 2 -B

2. 3=A - 3*B

1. Und 2. 3=2 - B - 3*B= 2 - 4 *B 

also B=(2-3)/ 4= - 0,25

mit A= 2 - B= 2 - (-0,25)= 2,25 nun Integrieren

F(x)=Int (x^2/(x^2 -2*x-3) *dx=Int (1+ (2*x+3)/(x^2-2*x-3) *dx

F(x) = Int ( 1*dx + Int(2,25/(x-3) *dx + Int ( - 0,25 /(x+1) *dx

F(x)= x + 2,25 * ln(x-3) - 0,25 * ln(x+1) + C

Probe : Mit Graphikrechner A=Int( x^2/(x^2-2*x - 3) = 4,3877 FE

mit xu= 4 (untere Grenze) und xo=6 (obere Grenze)

Hinweis : xo=6 und xu= 4 in die Funktion F(x) einsetzen und überprüfen.

Gegenbeispiel:

f(x) = 1/(x^2 + 4) 

besitzt keine reellen Nullstellen:

Mit:

Int { f(x)dx} = 0.5* Int{ 1/(z^2 +1)dz} =0.5* arctan(z) + const 

Mit z = x/2 

Folgt also F(x) = 0.5arctan(0.5*x) + const als Stammfunktion.

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