Parameter b in Parabeln

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Der Parameter b in der allgemeinen quadratischen Funktion

f ( x ) = a x ² + b x + c

verschiebt die Parabel sowohl in Richtung der x- als auch der y-Achse.

Wie diese Verschiebung sich im Einzelnen darstellt, kann man erkennen, wenn man den Funktionsterm von f ( x ) in die Scheitelpunktform bringt:

f ( x ) = a x ² + b x + c

= a * ( x ² + ( b / a ) x + ( c / a ) )

= a * ( x ² + ( b / a ) x + ( b / ( 2 a ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² + ( c / a ) )

= a * ( ( x + b / ( 2 a ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² + ( c / a ) )

= a * ( x + b / ( 2 a ) ) ² - ( a b ² / 4 a ² ) + c

= a * ( x + b / ( 2 a ) ) ² + c - ( b ² / ( 4 a ) )

= a * ( x - ( - b / ( 2 a ) ) ² + ( b ² / ( 4 a ) )

Daraus kann man nun die Koordinaten des Scheitelpunktes S von f ( x ) direkt ablesen:

S ( ( - b / ( 2 a ) | c - ( b ² / ( 4 a ) )

Fehlt das lineare Glied im Funktionsterm (ist also b = 0), dann lauten die Koordinaten:

S ( 0 | c )

sodass der Parameter b also zu einer Verschiebung der Parabel um - b / ( 2 a ) Einheiten in Richtung der x-Achse (also wegen des negativen Vorzeichens nach links) und um - b ² / ( 4 a ) Einheiten in Richtung der y-Achse (also wegen des negativen Vorzeichens nach unten) führt.

Bei positivem b wird also die Parabel nach links unten, bei negativem b nach rechts oben verschoben.

Mit der Streckung / Stauchung der Parabel hat der Parameter b nichts zu tun, hierfür ist ausschließlich der Parameter a "zuständig".

Beispiel:

Sei

f ( x ) = 2 x ² + 4 x + 6

also a = 2 , b = 4 , c = 6

Der Graph von f ( x ) ist dann gegenüber dem der Funktion g ( x ) = 2 x ² + 0 x + 6 um

-4 / ( 2 * 2 ) = - 1

Einheit in x-Richtung (also wegen des negativen Vorzeichens nach links) und um

-16 / ( 4 * 2 ) = - 2

Einheiten in y-Richtung (also wegen des negativen Vorzeichens nach unten)

verschoben.

Hier ein Plot der Graphen von f ( x ) und g ( x ), an dem man sich das ansehen kann:

http://tinyurl.com/bshneqx

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