Paradox(on) der Unendlichkeit /// Mathematik, etwas Philosophie und besonders Logik/ Denken

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13 Antworten

Unendlich bedeutet "ohne Anfang und ohne Ende" und sollte nicht mit "nicht zählbar" verwechselt werden. Bei Werten zwischen 0 und 1 sind ja Grenzen angegeben und die Menge ist der zwischen 2 und 3 vergleichbar. Eine unbegrenzte - nicht unendliche - Teilbarkeit ist ein Gedankenkonstrukt, weil bereits 0 und 1 Gedankenkonstrukte sind, Abstrakta, abgeleitet aus der Zählbarkeit von Einzelheiten in der Welt. Mengentheoretisch - auch ein Gedankenkonstrukt - enthält die Menge zwischen 0 und 2 alle möglichen Teilungen zwischen 0 und 1. Da es keinen Grund gibt, dass theoretisch weniger Teilungen im Bereich 1-2 möglich sind, wird man sagen können, dass bei gleicher Teilungsdichte die Menge der Teilungen zwischen 0-2 doppelt soviele Möglichkeiten enthält wie die zwischen 0-1.

Die Differenz zwischen null und eins ist nicht unendlich, sondern 1. Die Anzahl der reellen Zahlen in einem beliebigen Intervall auf dem Zahlenstrahl ist unendlich. Dabei spielt die Größe des Intervalls keine Rolle, weil das Ergebnis immer das gleiche ist.

Sehe ich das richtig du meinst es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0 und 1 was auch stimmt aber der Abstand ist nicht unendlich da er von 0 und von 1 begrenzt wird.

Entsprechend ist der Abstand zwischen 0 und 2 grösser was kein Widerspruch ist da es bei der Unendlichkeit um die Anzahl und bei der Größe um den Abstand geht. Der Abstand ist größer die Anzahl gleich (unendlich)

Verstehst du jetzt sonst Frag nochmal nach.

Denkfehler liegt an dem vagen Gebrauch von Begriffen, nämlich Größen. Man muss eine fixierte Definition für „größer gleich“ und „gleich“ verwenden, sonst ergibt sich aus dieser schlampigen Verwendung ein Widerspruch:

Unter Anderem:

  • Definition 1. A, B seien Mengen. B heißt dann „streng größer“ A, wenn A ⊆ B und A≠B.
  • Definition 2. A, B seien Mengen. B heißt dann „größer gleich“ A, wenn es eine injektive Abbildung ƒ : A —> B gibt. B heißt dann „streng größer“ A, wenn A „größer gleich“ A ist und wenn A nicht „größer gleich“ B ist.

Im Sinne von Definition 1 ist [0; 2] > [0; 1] streng. Im Sinne von Definition 2 ist NICHT ( [0; 2] > [0; 1] streng).


Übrigens gibt es DOCH in gewissen Rahmen mehrere Unendlichkeiten — und zwar in den Kardinalzahlen gibt es unbeschränkt viele immer größere Unendlichkeiten.


als Unendlichkeit bzw. etwas unendliches bezeichnen wir, was (im Rahmen unseren Verstandes) kein Ende hat.

Dies entspricht zwar unserer Intuition, ist aber keine feste Definition. Man stelle genaue Rahmen, um abstrakte Vorstellungen untersuchen zu können. Sonst geht es nicht.

Wenn Du von Differenzen redest, wo bleibt dann der Sinn der Unendlichkeit. Differenzen bestimmen immer ein Anfang oder ein Ende oder Beides. Differenz "von bis" Differenz "zwischen" Differenz "zum".

Ich finde auch kein (mathematisches, physikalisches) Paradoxon bezüglich Differenz und Unendlichkeit, da eine Unendlichkeit, wie das Wort schon sagt, ohne Ende ist.

Philosophisch könnte ich sagen, Ereignisse benötigen Zeit und liegen im Auge des Betrachters. Was für den einen unendlich erscheint, muss für den anderen Betrachter nicht unbedingt das Gleiche bedeuten. Der Betroffene könnte wiederum noch anders entscheiden.

Wenn wir von Energie reden, was ist dann Zeit? Was ist Energie? Nehmen wir an, alles ist Energie - auch Materie ist Energie. Allgemein stellt die Wissenschaft fest, dass erst dann Energie Materie ist, wenn es Zeit und Raum annimmt. Zeit ist messbar, Raum ist messbar. Da könnten wir (siehe Dein Beispiel "zwischen 0 und/oder 1,2) sagen, erst wenn Energie den Zustand der Materie erreicht, gibt es eine Endlichkeit.

Im Umkehrschluss wäre dann Energie unendlich.

Die beiden Unendlichkeiten lassen sich aber direkt ineinander überführen:

Jede Zahl zwischen 0 und 1 ist genau die Hälfte einer Zahl zwischen 0 und 2 und jede Zahl zwischen 0 und 2 ist genau das Doppelte einer Zahl zwischen 0 und 1.

Also sind sie doch gleich groß.

Der erste Denkfehler liegt in Bemerkung in der Klammer "im Rahmen unseres Verstandes". Zahlen existieren nirgends außerhalb unseres Verstandes, es "gibt sie nicht da draußen", zumal der Begriff des Endes ebenfalls nicht einfach so, unabhängig von Verstandesleistungen existiert.

Zahlen existieren nirgends außerhalb unseres Verstandes

Das weiß man nicht. Diese metaphysische Annahme kann man höchstens vermuten. Was man nur sagen darf ist:

  • „Man, darf nicht davon ausgehen, dass es außerhalb des Verstandes solche Objekten wie Zahlen existieren.“

Die Existenz von solchen Objekten ist ein philosophisch umstrittenes Thema.

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Die Anzahl der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 und 2 ist gleich. Nämlich überabzählbar unendlich.

Genau, nur sehe ich das Problem darin, dass die Menge zwar jeweils unendlich ist, aber eine Menge jedoch ,,scheinbar mehr" Werte beinhaltet, als es die andere tut, da die eine Menge Werte beinhaltet, welche die andere Menge gar nicht beinhalten kann (die Werte 1,x).

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@Arkanier

Trotzdem sind es nicht wirklich mehr, denn man kann die Werte zwischen 0 und 1 denen zwischen 0 und 2 umkehrbar eindeutig (bijektiv) zuordnen: zu jedem Element x aus der ersten Menge passt das Element 2x aus der zweiten Menge und zu jedem x aus der zweiten Menge passt x/2 aus der ersten Menge. Also nur scheinbar mehr, nicht wirklich.

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Die Anzahl der reellen Zahlen zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0 und 2 ist gleich.

Nein. die Menge der Zahlen kann nicht gleich sein, nennen wir die Menge zwischen 0-1: A und die Menge zwischen 0-2: B wird das klar. "1,3" zum Beispiel ist Teil der Menge B NICHT der Menge A, also ist B um mindestens diese Zahl "größer". (B=A+1,3...)

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@pRiot

Die Mengen sind nicht gleich, wohl aber haben sie die gleiche Mächtigkeit, d. h. sie enthalten gleich viele Elemente, denn es gibt (wie Schachpapa schon schrieb) eine bijektive Abbildung zwischen beiden Mengen.

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@pRiot

Nein. die Menge der Zahlen kann nicht gleich sein

{1, 2, 3} und {2, 3, 5} sind zwei verschiedne Mengen. Aber sie sind gleich mächtig, denn ich kann das hier machen:

1 <--> 2
2 <--> 3
3 <--> 5

Eine bijektive Zuordnung zwischen den Elementen beider Mengen.

Das kann ich auch für die Mengen (Intervalle) [0;1] und [0;2]:

x <---> 2x

Also sind [0;1] und [0;2] gleich mächtig. Man kann hier aber nicht von "Anzahl der Elemente reden". Von "Anzahl der Elemente" reden, das geht nur für endliche Mengen, und für endlich Mengen ist "Anzahl der Elemente" einfach dasselbe wie "Mächtigkeit".

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Es ist kein Paradoxen.

Größer kann nur etwas sein, was nicht unendlich ist.

Es stellt sich einfach nicht die Frage.

Die möglichen Zahlen zwischen 0 und 0,1 sind genau so unendlich wie zwischen 0 und 100. Die Option größer bzw. mehr oder weniger gibt es einfach nicht.

LG

Doch. Es gibt viele Möglichkeiten, den Begriff „größer als“ zu definieren.

Bzgl. Mächtigkeit einer Menge gilt für jede Menge, egal ob endlich oder unendlich:

  • # P(X) > X streng

Bzgl. Ordinalzahlen, zwar ist ω eine unendliche Zahle, aber ω+1 ist in gewisser Weise größer als ω.

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@kreisfoermig

Das ist Wortklauberrei.

Etwas nicht/ nie endendes zu erweitern spielt einfach keine Rolle.

Genauso wie es keine Rolle spielt vom absoluten Nichts noch etwas wegzunehmen.

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@LSdiethylamid

Etwas nicht/ nie endendes zu erweitern spielt einfach keine Rolle.

„Keine Rolle?“ O doch! Die Menge A = {1/n | n in N, >0} ist unendlich, auch die Erweiterung B = [0; 1]. Ist der Unterschied beträchtlich? Maß(A) = 0 während Maß(B) = 1. Oder wiederum, die Cantor-Menge C ist gleichmächtig zu [0; 1], aber topologisch gesehen ist C fast nichts (mager), während das Intervall nicht nichts (nicht mager). Versucht man mit einem Pfeil A (bzw. C) zu treffen, wird man mit W-keit 0 kein Element treffen, versucht man dasselbe mit B, trifft man mit W-keit 1.

Also, ja, spielt die Hinzufügung von mehr Elementen definitiv eine Rolle.

Man darf nicht mit diesen schlampigen Gebrauch von Begriffen arbeiten — das kann man ja mit der Familie oder mit Freunden, aber nicht wenn es dazu kommt, Wissen zu erreichen oder verschaffen.

Wir leben in Europa. Unsere Zivilisation baut sich auf Wissen und Wissen beschäftigt eine genaue Verwenden von Definitionen. „Größer als“ hat immer ein Kontext. „Sein Ego ist größer als deines“, „Meine Problem sind mehr als deine“, „sie weiß mehr als er“, „Dieser Tee hat mehr Zucker als der andere“, „Es gibt mehr Plätze auf diesem Bus“ berühren auf verschiedene Phänomene.

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@LSdiethylamid

Fazit. Es gibt keine einzige Definition von „größer sein“ sowie „unendlich sein“. Je nach Rahmen bedeuten diese Begriffe eventuell etwas anderes. Und je nachdem kann es durchaus möglich sein, dass mehr existiert als nur 1 Unendlich, die jeweils eventuell andere Eigenschaften aufweisen.

Das ist kein Wortspiel.

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@LSdiethylamid

Auch bzgl. deiner Definition, muss man die Möglichkeit Betracht ziehen, dass „etwas nie endendes“ etwas Neues hinzugefügt werden könnte, dass nie vorkommen wird. Weiterhin kann „nie endendes“ bloß bedeuten in sich nie endend. Die Menge {0; 1; 2; …} hat in sich kein Ende, aber kann das Ganze — die ganze Menge — als fertig betrachtet werden.

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@kreisfoermig

Das ist mathematische Theorie. Klar hast du recht, wenn du sagst, dass per diesen Definitonen "unendliche" nicht gleich "unendlich" ist.

In der Realität ist aber ein 2 Meter langer Stab den man unendlich verlängert genau so unendlich wie ein 10 Meter langer Stab den man unendlich verlängert.

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@LSdiethylamid

Das ist keine Mathematik, sondern Metaphysik und ein bisschen Sprachwissenschaft.


In deinem Beispiel wird immer noch in theoretischen Rahmen gearbeitet, auch wenn du meinst, dies sei physikalisch vollziehbar. Hier sind die Rahmen ((0, ∞]; <) das Intervall der positiven Zahlen zusammen mit ∞.

Nun lassen sich aber auch andere theoretische Rahmen auf die Wirklichkeit beziehen, z. B. diskrete Zahlen. Stell dir ein Universum vor, in welchem nur der Raum und eine Staubwolke unendlich vieler unterschiedlicher Partikeln existieren. Man fragt sich, wie viele Objekte sich daraus bilden könnten — die Antwort lautet: eine unendliche Anzahl, die erstaunlich größer wäre als die Anzahl der Partikeln in der Staubwolke.

Egal ob man sich auf die Wirklichkeit bezieht oder nicht, arbeitet man mit Denkrahmen und sogar in der Wirklichkeit gibt es die Denkmöglichkeit je nach Rahmen der Begriffen, dass mehrere unendliche Größen existieren könnten oder dass damit gerechnet werden muss.

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So seltsam es klingt, aber ja: es gibt "verschieden große Unendlichkeiten"

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