Paradoxon bei Rational Irrational?

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Liebe/r Kungfukuh,

bitte achte darauf, bei Fragen Deine Ratsuche klar ins Zentrum der Frage zu stellen, damit klar wird, dass Du nicht nur die Meinung erforschen willst, die innerhalb der Community vorliegt, suchst - sondern einen konkreten Rat benötigst. Auch eine mathematische Frage kann eine Diskussionfrage sein, aus diesem Grund ist es wichtig, falls es Dir um einen Rat geht, eben diesen in der Fragestellung deutlich zu machen.

Herzliche Grüsse

Amelie vom gutefrage.net-Support

6 Antworten

Auf der anderen Seite wissen wir, dass zwischen 2 beliebigen irrationalen Zahlen immer eine rationale Zahl liegt.

Andersherum liegt aber auch immer zwischen zwei rationalen Zahlen eine irrationale, oder liege ich da falsch? Die irrationalen Zahlen stopfen die Löcher der rationalen Zahlen.

Beide Mengen sind von der Mächtigkeit unendlich. Man kann nicht sagen, dass eine Menge "größer" ist, genauso wenig wie man sagen kann, dass die Menge der ganzen Zahlen größer ist als die der natürlichen Zahlen.

Der wesentliche Unterschied ist, dass man irrationale Zahlen nicht sortieren kann, die rationalen aber schon.

Die irrationalen Zahlen stopfen die Löcher der rationalen Zahlen

genau das tun aber auch die rationalen in der Menge der irrationalen

genauso wenig wie man sagen kann, dass die Menge der ganzen Zahlen größer ist als die der natürlichen Zahlen

natürlich ist sie grösser, da N Teilmenge von Z

Der wesentliche Unterschied ist, dass man irrationale Zahlen nicht sortieren kann

und wie wirkt sich das auf den Wert des Lebesque-masses bei beiden Zahlenmengen aus?

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@Kungfukuh

oO:

Beide Mengen sind von der Mächtigkeit unendlich.

Vorsicht! Abzählbar und überabzählbar unendlich sind hier so unterschiedlich, wie Tag und Nacht!!

natürlich ist sie grösser, da N Teilmenge von Z

Naja es existiert zwar eine Surjektion von Z nach N, aber auch eine von N nach Z. Die beiden Mengen sind also gleichmächtig. Sie sind beide von der Mächtigkeit Aleph-Null.

Der wesentliche Unterschied ist, dass man irrationale Zahlen nicht sortieren kann

Das kann man mit rationalen Zahlen auch nicht machen.

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@Kungfukuh

natürlich ist sie grösser, da N Teilmenge von Z

Es kann ja sein, dass du Recht hast, trotzdem will ich dir meinen Gedankengang aufzeigen: Die Mächigkeit von ℕ ist ∞, die von ℤ ebenfalls. Also schloss ich vielleicht zu vorschnell darauf, dass sie gleichmächtig sind.

und wie wirkt sich das auf den Wert des Lebesque-masses bei beiden Zahlenmengen aus?

Wenn es nicht meine Freizeit wäre, es mich brennend interessieren würde oder ich es noch grob in Erinnerung hätte, würde ich mich da wohl reinfuchsen. Aber so ist mir das zu aufwendig. Dabei will ich deinen Stern, der mir jetzt wohl möglich entgeht, nicht abwerten.

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@Suboptimierer

Die Mächigkeit von ℕ ist ∞, die von ℤ ebenfalls. Also schloss ich vielleicht zu vorschnell darauf, dass sie gleichmächtig sind.

Das ist einfach naiv gedacht.

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@mathgeek007

Stimmt, wenn ich nochmal genau darüber nachdenke, kann man die rationalen Zahlen auch nicht sortieren. Das habe ich wohl mit abzählen verwechselt.

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@mathgeek007

Mir fällt gerade wieder ein, wie ich auf "sortieren" gekommen bin. Ich dachte, die Zuweisungsfähigkeit zu den natürlichen Zahlen wäre gleichbedeutend damit, etwas in eine natürliche Reihenfolge zu bringen, was für mich zu diesem Zeitpunkt das gleiche war, wie sie zu sortieren.

Der Kernunterschied, den ich Dank dir erkannt habe, ist, dass man sie gerade eben nicht der Größe nach sortieren kann.

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@Suboptimierer

Der Kernunterschied, den ich Dank dir erkannt habe, ist, dass man sie nicht der Größe nach sortieren kann.

Nichts desto trotz besitzt diese Menge, genau wie alle anderen Mengen, eine Wohlordnung. Aber man findet sie nicht in ihrer "Größe" :)

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Oder liegt die Erklärung ganz allein in der Konstruktion des Lebesque-Masses und der daraus gezogenen Schlussfolgerung, die Menge der irrationalen Zahlen wäre überabzählbar?

Es liegt, wenn ich das richtig sehe schon, an der Konstruktion des Lebesgue Maßes und an der Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen. Allerdings ist die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen keine Schlussfolgerung aus dem Lebesgue Maß, sondern aus Cantors Diagonalargument, welches im wesentlichen darauf beruht, dass man rationale Zahlen als 2-Tupel ganzer Zahlen darstellen kann und irrationale nicht.

Allerdings ist die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen keine Schlussfolgerung aus dem Lebesgue Maß

das habe ich wohl missverständlich formuliert. Ich wollte anhand des Lebesque-masses zeigen, wir klein die Menge der rationalen Zahlen (Nullmenge) im Vergleich zur Menge der irrationalen Zahlen ist.

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Zunächst einmal zur Klarstellung: Jede abzählbare Teilmenge von IR hat das Lebesguemaß 0. Aber es gibt sogar überabzählbare Mengen vom Maß 0. Z.B. Wenn man im Intervall [0,1] das mittlere Drittel herausnimmt, von den verbleibenden 2 Teilen wieder jeweils das mittlere Drittel herausnimmt usw. ad infinitum, so bleibt eine überabzählbare Menge übrig, die aber das Maß 0 hat. Weiterhin hat der Beweis der überabzählbarkeit der Menge der irrationalen Zahlen nichts mit dem Lebesguemaß zu tun.

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung dieser Menge in die Menge der natürlichen Zahlen gibt, sie ist überabzählbar, wenn sie unendlich ist und eine solche Abbildung nicht existiert. Ein Paradoxon würde nur vorliegen, wnn man aus dem Umstand, dass zwischen zwei irrationalen Zahlen stets eine rationale Zahl liegt, eine bijektive Abbildung von der Menge der irrationalen Zahlen in die Menge der rationalen Zahlen konstruieren könnte. Man kann zwar auf dem Wege, den du beschrieben hast jeder irrationalen Zahl eine rationale zuordnen (z.B. man zählt zu jeder irratioalen Zahl 1 hinzu und nimmt eine bel. rationale Zahl in diesem Intervall), aber eine solche Zuordnung kann niemals biijektiv sein. Gewissermassen sind bei jeder möglichen Zuordnung alle rationalen Zahlen schnell verbraucht und es bleiben die meisten irrationalen Zahlen übrig.

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildung

Es genügt eine Surjektion.

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Ergänzung: Der letzte Satz ist natürlich so zu verstehen, dass jeder Versuch, eine bijektive Abb. von den rationalen auf die irrationalen Zahlen herzustellen, daran scheitert, dass die rationalen Zahlen verbraucht sind und die meisten irrationalen Zahlen übrig bleiben.

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Gewissermassen sind bei jeder möglichen Zuordnung alle rationalen Zahlen schnell verbraucht und es bleiben die meisten irrationalen Zahlen übrig.

das ist nun die Frage, wie können sie alle verbraucht sein, wenn zwischen 2 beliebigen irrationalen Zahlen immer eine rationale liegt? Genau dieser Umstand löst die Paradoxie aus.

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@Kungfukuh

wenn zwischen 2 beliebigen irrationalen Zahlen immer eine rationale liegt?

Ok vielleicht sollte man es mal mit Polnischen Räumen versuchen:

Man findet zwischen zwei irrationalen abzählbar viele rationale Zahlen, aber zwischen zwei rationalen Zahlen findet man überabzählbar viele irrationale. Deshalb sind die Häufungspunkte in IR immer Kondensationspunkte, da sie in jeder Umgebung überabzählbar viele Punkte haben. In diesem Zusammenhang sind die rationalen Zahlen wieder rar gesäht :)

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@mathgeek007

Man findet zwischen zwei irrationalen abzählbar viele rationale Zahlen, aber zwischen zwei rationalen Zahlen findet man überabzählbar viele irrationale

das führt lediglich auf die Fragestellung zurück. Wie lässt sich dieser Umstand aber erklären, dass zwischen zwei irrationalen Zahlen eine rationale liegt? Irrationalen Zahlen müssten dann logischerweise irgendwie "einschleichen", damit ihre Menge so viel grösser ist. Aber wie? :)

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@Kungfukuh

Wie lässt sich dieser Umstand aber erklären, dass zwischen zwei irrationalen Zahlen eine rationale liegt?

Naja ich denke, dass du weißt, wie sich das mathematisch erklären läßt.

Der Punkt ist der: Die rationalen Zahlen sind erwiesenermaßen abzählbar. Da IR erwiesenermaßen überabzählbar ist, muß die Komplementärmenge von Q überabzählbar sein. Da diese Menge aus den irrationalen Zahlen besteht, muss das also der überabzählbare Anteil sein.

Es ist eigentlich ganz einfach und gleichzeitig recht kompliziert: Du findest zwar zwischen je zwei irrationalen Zahlen abzählbar viele rationale Zahlen, aber zwischen zwei rationalen überabzählbar viele irrationale... ABER: Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegen natürlich auch überabzählbar viele irrationale Zahlen! Und dort manifestiert sich die Größe der Irrationalzahlmenge!

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Hallo Kungfukuh :)

Äußerst interessante Frage!

Ja, wir haben es hier mit einem Paradoxon zu tun. Die rationalen Zahlen sind erwiesenermaßen äbzählbar. Genau diesen Umstand nutzt man in der Maßtheorie aus, um Q zu messen. Indem man über abzählbar viele, kleine Kugeln summiert (was ja immer möglich ist, da Kugeln um Punkte beliebig klein sein können) erhält man das gesuchte, nämlich dass die Summe dieser Maße (wegen der vorhandenen sigma-additivität) Epsilon-groß ist.

Das beantwortet allerdings nicht deine Frage.

Q ist eine sogenannte magere Menge (siehe Bairescher Kategoriensatz). Grundsätzlich gilt, dass magere Mengen = Lebesguenullmengen sind. Das hängt mit der Dichtheit der Elemente magerer Mengen zusammen.

Es ist auch nicht hinreichend für von Null verschiedenes Maß, dass Mengen überabzählbar sind. Das sieht man gut an pathologischen Mengenkonstrukten, wie zum Beispiel den Cantormengen. Es ist aber notwendig. Alle abzählbaren Mengen haben das Maß Null, da sie eben in diesem Sinne klein sind.

Vielleicht helfen dir meine Gedankengänge...

LG

PS: Du wolltest dir Skype installieren ;P

tue ich nach dem Umzug!

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Die überabzählbarkeit der reellen zahlen kommt aus Cantors zweitem Diagonalargument. (siehe wiki). die abzählbarkeit der rationalen zahlen kommt aus dem ersten diagonalargument.

bis hierher kommt man also ohne Lebesque maß aus, liegts es nicht an der konstruktion des lebesque-maß.

ich vermute mal, dass es einfach nicht intuitiv ist, genauso wie ja die anzahl der rationalen zahlen genauso groß wie die anzahl der natürlichen zahlen ist, obwohl zwischen 2 natürlichen zahlen abzählbar unendlich viele rationale zahlen liegen.

ich stell mir die reellen zahlen wie eine durchgehende linie vor, gespickt mit abzhälbar unendlich vielen rationalen punkten (mit breite 0). nimmt man nun alle rationalen zahlen weg, so ändert sich die länge der linie nicht, also ist die menge der irrationalen zahlen genauso mächtig wie die der reellen zahlen und die der rationalen zahlen winzig dagegen.

is schwer zu erklären, da sehr kontraintutitiv. sollte ich nen fehler drin haben, so kann gerne einer der "richtigen" mathematiker korrigieren. (bin nur n informatiker mit mathe-faible) ;)

Ich finde die Erklärung gut, vor allem das bildhafte Beispiel am Ende.

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@mathgeek007

stimmt, ist eher ein versuch der veranschaulichung als eine formal stimmige erklärung.

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nimmt man nun alle rationalen zahlen weg, so ändert sich die länge der linie nicht

mit dieser Erklärung habe ich ein Problem, denn wenn man die rationalen Zahlen entfernt, bleibt keine stetige Linie mehr da. Und die wichtigste Frage bleibt noch: wie viele Punkte haben wir da jetzt entfernt? Eine Winzigkeit oder die Hälfte?

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@Kungfukuh

Deshalb hat J. Dieudonné auch immer davor gewarnt, sich Zeichnungen zu komplizierten Zusammenhängen zu erstellen ;)

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@Kungfukuh

stimmt...mit der anschaulichkeit geht auch die klarheit zum teil verloren.

was ich meinte ist, dass die länge aller teilstücke genauso lang wie die linie ist. oder ums klarer auszudrücken: zwischen 2 rationalen/irrationalen punkten liegen überabzählbar viele irrationale punkte, aber nur abzählbar viele rationale.

wieder bildlich: ich entferne aus einer strecke stücke der breite 0, also bleibt die länge gleich. in entferne also einen infinitesimalen teil der gesamtstrecke.

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@mathgeek007

und ich sag meinen nachhilfeschülern: "immer zu allem bildchen malen", hoffentlich hält mir keiner von denen mal besagte warnung vor ;)

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@dhilbert

zwischen 2 rationalen/irrationalen punkten liegen überabzählbar viele irrationale punkte, aber nur abzählbar viele rationale

das führt lediglich auf die Fragestellung zurück. Wie lässt sich dieser Umstand aber erklären, dass zwischen zwei irrationalen Zahlen eine rationale liegt? Irrationalen Zahlen müssten dann logischerweise irgendwie "einschleichen", damit ihre Menge so viel grösser ist. Aber wie? :)

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@Kungfukuh

naja...zwischen 2 rationalen liegt nicht nur eine irrationale, sondern überabzählbar viele irrationale und nur "wenige" (abzählbar viele) rationale.

man hat keine 1:1 beziehung sondern jedesmal eine zwischen einer abzählbaren und einer überabzählbaren menge.

salopp formuliert: (hier muss man eigentlich mit mächtigkeit der jeweiligen mengen argumentieren, aber das spar ich mir mal):

zwischen 2 rationalen zahlen liegen viele irrationale und ein paar rationale. zwischen 2 irrationalen zahlen liegen viele irrationale und nur ein paar rationale. die irrationalen sind immer in der "überzahl".

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@dhilbert

immer zu allem bildchen malen

hehe ich glaube, bei denen ist das vertretbar, weil die sich nicht mit pathologischen Beispielen beschäftigen :)

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Die Mathematik an sich ist schon paradox da sie nicht erwiesen richtig ist.

€: Ein Paradoxon, das auf nicht Lebesgue-messbaren Mengen beruht, ist das Banach-Tarski-Paradoxon

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@Ritzebub

nun, die Menge der rationalen Zahlen ist aber Lebesque-messbar

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hast du vielleicht auch ein Beispiel dazu? :)

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@Kungfukuh

Ein Beispiel wäre das dass Banach-Tarski-Paradoxon erklärt, wie eine Kugel in Teile zerlegt werden kann, welche - anders zusammengesetzt - zwei volle Kugeln ergeben, jede gleich groß wie die ursprüngliche.

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@Ritzebub

Also, aus dem Satz:

Erklärt wird das Paradoxon mathematisch formal damit, dass die Kugelteile dermaßen kompliziert geformt sind, dass ihr Volumen nicht mehr definierbar ist. Man bezeichnet solche Punktmengen als nicht messbar (wiki)

verstehe ich, dass diese Zerlegung nur dann möglich ist, falls eine der Mengen eine nicht messbare Menge ist. Das steht jedoch nicht im Widerspruch zur mathematischen Konstruktion des Lebesque-Masses, da man es für nicht messbaren Mengen keine Definition gibt bzw das Lebesque-Mass nur den messbaren Mengen einen Wert zuordnet.

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@Kungfukuh

Also die Paradoxie von Banach und Tarski benutzt, genauso, wie der Satz von Vitali, das Auswahlaxiom. Das steht mitnichten im Widerspruch zum Lebesguemaß. Ihr braucht auch garnicht so weit zu gehen - Auch das Borelmaß der rationalen Zahlen ist Null!

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@Kungfukuh

Korrekt, grob gesprochen besagt das Paradoxon das es möglich ist eine Kugel in mehrere Teile zu zerlegen und diese so zusammenzusetzen, dass man schlussendlich zwei Kugeln hat, von denen jede jeweils das gleiche Volumen hat wie die ursprüngliche Kugel. Das scheint die Verdopplung von Volumina zu ermöglichen. Dieser scheinbare Widerspruch löst sich aber auf wenn man die Konsequenz zieht, dass die Kugelteile in der Zerlegung ganz einfach kein wohldefiniertes Volumen besitzen, weil sie so kompliziert sind, dass es zwar kaum vorstellbar aber doch denkbar ist. Nach eingehenderer Analyse verliert es seine Absurdität und wird zu einem ganz gewöhnlichen mathematischen Satz, der bewiesen und verstanden werden kann. Allerdings könnte man darüber ellenlange mathematische Thesen verfassen.

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@Ritzebub

Korrekt, grob gesprochen besagt das Paradoxon das es möglich ist eine Kugel in mehrere Teile zu zerlegen und diese so zusammenzusetzen, dass man schlussendlich zwei Kugeln hat, von denen jede jeweils das gleiche Volumen hat wie die ursprüngliche Kugel. Das scheint die Verdopplung von Volumina zu ermöglichen.

Ja... Das Volumen kann beliebig vervielfältigt werden. Das hat mit ziemlich abgefahrener Gruppentheorie zu tun.

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