Parablen mathe, ich vertsehe null. Bitte um Hilfe?

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7 Antworten

Hallo,

eine Parabel ist ein Funktionsgraph, der aus der Gleichung

y=ax²+bx+c entsteht.

a, b und c können dabei beliebige Zahlen sein mit einer Ausnahme:

a darf nicht Null sein, weil Du sonst keine Parabel mehr hast, sondern einfach eine Gerade.

Nimm als Beispiel a=2, b=1, c=-3

Dann bekommst Du die Gleichung y=2x²+x-3

Wenn Du nun für x irgendwelche Zahlen einsetzt: vielleicht alle ganzen Zahlen von -3 bis 3, bekommst Du eine Wertetabelle:

Fangen wir bei -3 für x an:

y=2*(-3)²+1*(-3)-3=12

Das würde das Wertepaar (-3|12) ergeben.

Setzt Du -2 ein, bekommst Du 2*(-2)²+1*(-2)-3=3, also (-2|3)

So geht es weiter: (-1|-2), (0|-3), (1|0), (2|7), (3|18)

Zeichnest Du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein und verbindest sie miteinander, ergibt sich eine Parabel.

Eine Parabel sieht wie eine Art u aus, ist nach oben oder nach unten offen und hat einen Scheitelpunkt, der entweder der höchste (wenn sie nach unten offen ist) oder der tiefste Punkt ist (wenn sie nach oben offen ist).

Wie herum sie geöffnet ist, erkennst Du ganz einfach an dem Vorzeichen vor dem x².

Ist dieses positiv, ist die Parabel nach oben geöffnet, ist es negativ, ist sie nach unten geöffnet.

Unsere Parabel y=2x²+x-3 ist also nach oben geöffnet, denn vor dem x² steht eine positive Zahl (2).

Du kannst auch direkt ablesen, wo sie die y-Achse schneidet:

bei y=-3, also bei der Zahl ohne x dahinter.

Schwieriger wird es, die Nullstellen zu bestimmen; die Stellen also, an denen die x-Achse geschnitten wird.

Das geht meist über die sogenannte pq-Formel.

Um diese anzuwenden, teilst Du die Gleichung der Parabel durch die Zahl vor dem x² und schreibst anstelle von y 0.

Hier also:

0=2x²+x-3

Das mußt Du durch 2 teilen, weil vor x² eine 2 steht.

Dazu teilst Du jeden einzelnen Summanden durch 2:

0/2=2x²/2+x/2-3/2

Das ergibt:

0=x²+(1/2)x-3/2

Nun nennst Du die Zahl vor dem x p und die ohne x nennst Du q.

Hier ist p=1/2 und q=-3/2

Eine Parabel kann je nach Lage keine, eine oder zwei Nullstellen besitzen, je nachdem, wo der Scheitelpunkt liegt und wie herum sie geöffnet ist.

Liegt der Scheitelpunkt genau auf der x-Achse, hast Du nur eine Nullstelle, die dann doppelte Nullstelle genannt wird.

Die Nullstellen berechnen sich nach der Formel:

x1=-p/2+√(p²/4-q)
x2=-p/2)-
√(p²/4-q)

und Du mußt nur noch die Werte für p und q einsetzen.

Hier also:

x1=-1/4+√(1/16+3/2)=-1/4+√(1/16+24/16)=-1/4+√(25/16)=-1/4+5/4=4/4=1
x2=-1/4-5/4=-6/4=-3/2

-1/4 errechnet sich aus -p/2, denn p=1/2, davon ist die Hälfte 1/4. 

Da wir -p/2 suchen und p/2=1/4, ist -p/2=-1/4

Entsprechend geht es weiter.

Die Nullstellen liegen also bei -3/2 und bei 1, sind also die beiden Punkte
(-3/2|0) und (1|0).

Im Grunde brahcts Du jetzt nur noch den Scheitelpunkt. Der befindet sich bei einer Parabel immer genau zwischen den beiden Nullstellen (wenn es zwei gibt). Hier liegt er also genau zwischen x=-3/2 und x=1, also bei x=-1/4.

Wenn Du für x die -1/4 in die Gleichung einsetzt, bekommst Du den dazugehörigen y-Wert heraus:

y=2*(-1/4)²+(-1/4)-3=-1/8-1/4-3=-27/8

Den x-Wert des Scheitelpunktes bekommst Du auch über die Formel -b/(2a) heraus.

Da a=2 und b=1:

x=-1/(2*2)=-1/4, wie bereits aufgrund der Nullstellen gesehen.

Scheitelpunkt also (-1/4|-27/8)

Du zeichnest den Scheitelpunkt in ein Koordinatensystem, den Schnittpunkt mit der y-Achse, die beiden Nullstellen und noch ein, zwei Werte aus der Wertetabelle, verbindest alles durch eine schöne u-förmige Kurve und bist fertig.

Die pq-Formel und die Formel für den x-Wert des Scheitelpunktes solltest Du auswendig können.

Herzliche Grüße,

Willy

Wenn Du übrigens eine Senkrechte durch den Scheitelpunkt einer Parabel ziehst, wirst Du sehen, daß sich die Parabel immer an dieser Senkrechten spiegelt.

1

y = (x - 2)² + 3

Du hast hier die Scheitelpunktform der Parabelgleichung gegeben.

y = a(x - d)² + e

In dieser Form liegt der Scheitelpunkt bei (d | e). Ist ja auch logisch - wenn der Scheitelpunkt normalerweise bei (0 | 0) liegt und man die Parabel um d nach rechts und um nach oben verschiebt, ist das logischerweise auch beim Scheitelpunkt der Fall:

(0 + d | 0 + e) (d | e)

Daher ist es in dieser Form auch so einfach, den Scheitelpunkt zu bestimmen - man kann ihn nämlich einfach ablesen!

y = (x - 2)² + 3 bedeutet Scheitelpunkt bei (2 | 3).

Für eine Wertetabelle setzt Du einfach ein paar x-Werte in den Funktionsterm ein und guckst, was für y rauskommt. Und diese beiden Werte setzt Du halt in eine Tabelle. Gar kein Drama.

Nullstellen wären noch ein Thema, sind aber auch nicht schwer zu bestimmen. y = 0 setzen und dann auflösen. Das ist in dieser Form auch sehr einfach.

(x - 2)² + 3 = 0
(x - 2)² = -3
x - 2 = ±√-3

Hier gibt es also gar keine Nullstellen - Du kannst schließlich aus negativen Zahlen reell gar keine Wurzel ziehen. Ist aber ja auch irgendwie logisch - wenn die Parabel nach oben geöffnet ist und wir sie nach rechts und nach oben verschieben, kommt sie ja gar nicht dazu, irgendwie die x-Achse zu schneiden.

Ist alles logisch, wenn man es verstanden hat - diese Verständnisschwelle muss man aber auch erstmal überschreiten.

Bei Fragen einfach Fragen.

LG Willibergi

f(x) = a(x - d)^2 + e
a ist der Streckfaktor. Ist die Wurzel aus a^2 (der Betrag von a - |a|) größer als 1, ist die Parabel schmäler (gestreckt) als die Normalparabel (f(x) = x^2).
Ist |a| kleiner als 1, aber größer als 0, ist die Parabel breiter (gestaucht) als die Normalparabel.
Für |a| = 1 (also a = 1 oder a = -1) ist die Parabel eine eventuell verschobene Normalparabel.

d ist die x-Koordinate des Scheitelpunkts.
e die y-Koordinate.

f(x) = (x - 2)^2 + 3
Die Parabel ist eine verschobene Normalparabel (a = 1 => |a| = 1).
Die Parabel ist um 2 Einheiten nach rechts verschoben (-d = -2 <=> d = 2).
Zudem ist die Parabel um 3 Einheiten nach oben verschoben.
Der Scheitelpunkt befindet sich also bei S(2|3).

Wichtig: Die Scheitelform lautet f(x) = a(x - d)^2 + 3.
In der Form kommt also -d vor, aber die x-Koordinate ist d!

Am Ende +e, nicht +3.

0

Beispiel:

y= (x-2)hoch2+3 -> Scheitelpunktsform, weil du daraus direkt den Scheitel erlesen kannst.

S(2|3) -> Scheitelpunkt, den kannst du im Koordinatensystem einzeichnen.

y= xhoch2-2*x*2+2hoch2+3

y= xhoch2-4x+4+3

y= xhoch2 -4x+7 -> Normalform

Probe: (Von der Normalform in die Scheitelpunktsform)

y= xhoch2-4x+7

y= xhoch2 -2*x*2+2hoch2-2hoch2+7

y= (x-2)hoch2-4+7

y= (x-2)hoch2+3

Ich finde es sehr schwer ein solches Thema über Internet anständig zu erklären. Wenn du Fragen hast, stell sie bitte. 

Sag mal, in welche Klasse gehst du?

in der 10ten

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@Hodi8

Ok, wenn du Fragen hast, frag.

Aber hier können dir ja genügend helfen. :D

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Dein Beispiel ist um 3 nach oben verschoben, nicht nach unten.

Wertetabellen erstellst du, indem du Zahlen für x einsetzt (z.B. -5, -4, ...., 4, 5) und guckst, was bei der Funktion rauskommt. Das musst du schon können, da du es für lineare ja auch schon gelernt hast.

Zum restlichen Verständnis bitte Funktionsplotter im Netz konsultieren und ein paar Funktionen eingeben gucken, wie die ausschauen.

du meinst wohl eher : 3 nach oben und 2 nach rechts.

und gib selber Beispiele und stell konkrete Fragen, dann wird dir sicher schnell geholfen.

eine funktionsgleichung erkennen

funktionsgleichung ablesen

schnittpunkt zweier parablen bestimmen

wertetabelle berechnen

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@Hodi8

- funktionsgleichung von einem graphen ablesen;

scheitelpunkt und schnitpunkt mit der y-achse aus der zeichnung ablesen; zB S(1;-4) und Py (0;5)

dann y=a(x-1)² -4  jetzt Py einsetzen und a berechnen;

5=a(0-1)² -4

9=a

also Funktionsgleichung:

y = 9(x-1)² -4      und das kannst du mit binomischer formel in die normalform bringen;

y=9x²-18x+5       (kannst du nachrechnen)

------------------------------------------------------------------

schnittpunkt zweier parabeln

zB y=4x²+5x-3  und y=-3x²-2x+1

dann gleichsetzen und mit pq-formel x-wert berechnen; einsetzen und y berechnen;

4x²+5x-3=-3x²-2x+1

7x²+7x-4=0  I :7

usw

x1 = 0,406      x2 = -1,406      (kannst du nachrechnen)

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wertetabelle

y=3x²-4x+2                 für x die x-werte einsetzen und y berechnen

x =  -2    -1    0    1    2

y =  22    9     2    1   6

(kannst du nachrechnen)

2

Wenn Du die Funktion

y= ((x-2)^2) +3

hast, nimmst Du einzelne x Werte, z. B. 1, 2, 3, 4,usw. und rechnest aus, was sich für y ergibt, wenn Du die Werte in den Ausdruck einsetzst. Dann schreibst Du zu jedem x-Wert den zugehörigen y-Wert und hast eine Wertetabelle.

Wenn sich die Funktion schon in Scheitelform (Scheitelpunktsform) befindet, kann der Punkt einfach abgelesen werden:

Scheitelpunktsform:

f(x)=a(xd)2+e

Scheitelpunkt: S(d|e)

Bei der obigen Funktion wäre der Scheitelpunkt also bei 2/3.

Du kannst die obige Funktion aber auch in der Normalform y = ax^2 + bx +c ausdrücken, indem Du die Quadratklammer ausrechnest. Du bekommst (x-2)^2 =x^2 -2*2*x +4 und kannst das einsetzen.

Dann hast Du

y = x^2 -2*2*x +4 + 3 = x^2 +4x +7

wenn ich mich nicht vertan habe.

das hat mich jetzt alles sehr verwirrt, dass ich sie auch in die normalform machen kann. Und wie berechne ich dann die wertetabelle ? sry aber das ht mir jetzt nicht wirklich weiter geholfen. aber herzlichen dank :)

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