Parabeln der Form y=(x+d)zum Quadrat?

6 Antworten

f(x) = (x - d)²

Du hast Recht, (x - 3)² ist nach rechts, wobei (x + 3)² nach links verschoben ist. Gut beobachtet!

Das Ganze liegt einfach daran, dass die Funktionswerte ebenso verschoben werden. Wird vom x-Wert 3 abgezogen, so wird der Funktionswert, der bei der ursprünglichen, nicht verschobenen Funktion schon bei x = 0 erreicht wird, hier erst bei x = 3 erreicht (der x-Wert wird ja immer um vermindert).

Entsprechend verschiebt sich der Graph dann nach rechts.

Definieren wir mal folgendes:
f(x) = (x - 0)² = x²
g(x) = (x - 3)²

An welcher Stelle wird bei f der Funktionswert 4 erreicht?
Rechnen wir es aus:

4 = x² x = 2

Und an welcher Stelle wird bei der Funktionswert 4 erreicht?
Das können wir genauso berechnen:

4 = (x - 3)² 2 = x - 3 x = 5

Hinweis: Wir betrachten in beiden Fällen der Einfachheit halber mal nur die positive Lösung - eigentlich müsste man eine Fallunterscheidung machen und erhielte dann zwei Lösungen für x.

Bei f wird der Funktionswert 4 also drei Einheiten vor g erreicht. Das heißt, dass f und g um 3 Einheiten auseinander liegen - und in dem Falle ist f eben weiter links, weil der Funktionswert schneller erreicht wird.

Und daraus folgt dann auch Deine Beobachtung. 

Bei Fragen einfach fragen.

LG Willibergi

betrachte mal die Funktionen f(x)=x² und g(x)=(x-1)²
[g ist um eine Einheit nach rechts verschoben, weil "alle" x durch x-1 ersetzt wurden]

Der Scheitelpunkt bei f ist bekanntlich bei S(0|0). Um an den Scheitelpunkt bei g zu gelangen, musst Du eine Einheit weiter nach rechts wandern, also nach x=+1. Durch das Minuszeichen bei der "Umwandlung" werden die gleichen Funktionswerte sozusagen erst "etwas später" erreicht...

Bei der Linksverschiebung mit x+d ist es dann umgekehrt; die Funktionswerte der Ursprungsfunktion werden durch die Addition früher erreicht.

Du hast die Parabel A: y=x²

nun setzt du anstatt x den Term x+d
ein und erhältst die Parabel B: y = (x+d)²

Bei welchem Wert der Parabel A ist y=0? -> bei x = 0
Bei welchem Wert der Parabel B ist y=0? -> bei x = -d

Bei welchem Wert der Parabel A ist y=1? -> bei x = 1
Bei welchem Wert der Parabel B ist y=1? -> bei x = 1-d

und so weiter.

Für jeden Wert von Parabel A erhältst du den gleichen Wert bei Parabel B, wenn du für x einen um d kleineren Wert einsetzt!

Du brauchst sozusagen ein negatives x um das positive d auszugleichen, daher verschiebt sich die Parabel in die Gegenrichtung von d.

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Wenn aber im Endeffekt das negative X zum Quadrat genommen wird ist es ja wiederum positiv oder? Aber danke, das hat mir schon etwas geholfen.

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@261201

Natürlich ist der Ausdruck x² sowie der Ausdruck (x+d)² oder (x-d)² immer >= 0. Deswegen sind alle y-Werte positiv (oder Null) - daraum geht es aber in deiner Frage doch nicht! dir geht es doch um die Verschiebung in x-Richtung!

Nochmal:
y=x² und y=(x+d)² sind die "gleichen" Parabeln, nur "seitlich" gegeneinader verschoben.

Angenommen, d=+2
Wenn du bei A für x=3 einsetzt, so erhältst du einen y-Wert von y=9.

Welchen Wert musst du bei B einsetzen, damit du für y=9 erhältst?
Du musst einsetzen 3-d= 3-2 = 1, um 9 zu erhalten, da
(x+2)² = (1+2)² = 3² = 9 ist.

Bei B musst du also für jeden x-Wert einen um 2 (oder allgemein: um d) kleineren Wert einsetzen, um auf den gleichen y-Wert wie bei A zu kommen!

Die Parabel B liegt also über (um d) kleineren x-Werten, als Parabel A. Deswegen ist sie nach links verschoben.

Zeichne doch die beiden Parabeln einfach: mach dir eine Tabelle und zeichne die Punkte in ein Koordinatensysem ein - dann sollte es ganz schnell klar werden.

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@261201

@261201

Kann es sein, dass du am 26.12. Geburtstag hast?

Das ist nämlich auch meiner! 😁

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