Orthonormalbasen?

2 Antworten

Bezüglich des Skalarproduktes, mit dem festgestellt wird, dass die Eigenvektoren paarweise orthogonal sind. Ein anderes haben wir ja erst, wenn wir es eigens definieren.

(Alternative Begründung: Die Matrizen bilden ja eine "stetige Algebra", und ein Eigenwert einer Matrix kann stetig auf 0 und dann auf negative Werte gebracht werden, bei gleichbleibenden übrigen Eigenwerten und gleichbleibenden Eigenvektoren. Die entstehende Matrix ist ja nicht mehr definit, aber die übrigen Aussagen bleiben alle erhalten.)

Diese Antwort verstehe ich nicht ganz. WIr hatten in der VL nur einen Satz der basagte, dass die Eigenvektoren symmetrischer Matrizen eine Orthogonalbasis bilden. Allerdings weiß ich nicht bezüglich welchen Skalarprodukts.

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@Abdellaouii

Zunächst mal haben wir doch nur ein einziges Skalarprodukt in einem Vektorraum mit Skalarprodukt. Wozu müssen wir dann nach einem zweiten fragen?

Wenn ihr das "Standardskalarprodukt" für die Orthogonalisierung verwendet habt, sind die Eigenvektoren auch bezüglich des "Standardskalarproduktes" orthogonal.

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@PWolff

ok dann muss es wohl so sein. Es steht in unserem Skript nur eben nirgends dabei.

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@Abdellaouii

Wenn nichts anderes dabeisteht, kannst du davon ausgehen, dass für alles dieselben Dinge wie Skalarprodukte, Normen etc. verwendet werden.

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Korrekt!

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Danke

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Beste Grüße!

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