Orthogonalen Vektor finden?

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5 Antworten

Die von dir richtig aufgestellte Gleichung ist lösbar, allerdings nicht eindeutig. Dem entspricht die Tatsache, dass es zu dem von dir gegebenen Vektor unendlich viele orthogonale Vektoren gibt.

Ergänzung zu Ellejolka:

  • (Großbuchstaben Vektoren, Kleinbuchstaben Skalare).
  • N = (2 -1 1)

N X = 0

ist (die Normalenform) eine(r) Ursprungsebene, deren Richtungsvektoren genau die zu N orthogonal sind. Die Ebene kann auch geschrieben werden (Parameterform):

X = r (0 1 1) + s(1 0 -2);

wenn r und s alle reellen Zahlen durchlaufen, durchläuft also X alle zu N orthogonalen Vektoren.

Du hast also ohne viel Aufwand reichlich Auswahl.

warum so kopliziert; nimm doch irgendwelche Zahlen, sodass dann 0 rauskommt;

zB (1; 2;0)

Im Prinzip wird hier ausgenutzt, dass im R^3 zwei äquivalente Schreibweisen für Ebenen gibt, einmal die Parameterform (a,b Elemente des zugrundlegenden vollständigen Zahlkörpers K=R, d.h., Skalare, Großbuchstaben bezeichnen Vektoren aus V = K^3 ) ),

X(a,b) = X0 + a * U + b * V

Man kann zeigen (durch Nachrechnen), dass,

W = U x V (x bezeichnet das Vektorprodukt),

orthogonal zu U und V steht, d.h.,

W . X(a,b) = W . (X0 + a * U + b * V), wobei der . das Skalarprodukt im R^3 angibt.

<=> W . X(a,b) - W . X0 = 0. (II)

Setze nun, o.B.d.A X0 = 0, so dass,

(II) = W . X(a,b) = 2 * x1 - 1 * x2 + 1 * x3 = 0 <=> x2 = 2 * x1 + x3.

Wir setzen nun abwechselnd x1 = 0 und x3 = 0, d.h.,

(i: x3 = 0 in (II)) x2 = 2x1 => U = x1(1 2 0)^(T),

(ii: x1 =0 in (II)) x2 = x^3 => V = x3*(0 1 1)^(T).

Das hochgestellte T drückt das Transponieren von Vektoren aus, d.h., dass wir die Vektoren normal in Spalten-Schreibweise schreiben.

VG, dongodongo

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