Optimierungsprobleme Mathe

...komplette Frage anzeigen

2 Antworten

  1. Überlege dir, welche Größe optimiert werden soll, und von welcher Variablen das abhängen soll (d.h. welche Variable so verändert werden soll, dass die Optimierungsgröße optimal wird), das ist die Optimierungsvariable.

  2. Mach dir klar, unter welchen Bedingungen/Vorgaben optimiert werden soll.

  3. Überlege dir die Grenzen, zwischen denen die Optimerungsvariable liegen kann.

  4. (die Hauptarbeit): Leite eine Gleichung für die zu optimierende Größe her (Zielfunktion). Dazu müssen die unter 2. angedachten Bedingungen eingearbeitet werden. Letzlich musst du also eine Funktion finden, die nur noch gegebene Größen und die OPtimierungsvariable enthalten. Normalerweise muss du dafür einfach entsprechend Formeln für die Bedingungen aufstellen und ineinander einsetzen.

  5. Finde die optimalen Punkte (erste Ableitung der ielfunktion nulsetzen,....)

  6. Überprüfe das ERgebnis auf Konsistenz (Grenzen, und evtl. globale Optimalität)

Anmerkungen:

Zu 1.: Die Größe, die optimiert werden soll ist in der Regel sofort ausgemacht. Die Optimierungsvariable, die also entsprechend angepasst werden soll, kann dagegen manchmalc schwierieger auzumachen sein, bzw. es kann da evtl. mehrer Möglichkeiten geben. Bsp.: Ein Rechteck soll optimiert werden (bspw unter Vorgabe eines Flächeninhaltes). Dann kann man sowohl die Längs- als auch die Breitseite als Optimierungsvariable verwenden, die jeweils andere Größe muss sich dann aus den Bedingungen ermitteln lassen. Was geschickter ist, muss man dann eben mit ewas Erfahrung sehen. Hier gibt es so einen Fall: Die zu optimierende Größe ist ja natürlich (zunächst) die Oberfläche des Quaders. Aber für die Optimierungsvariable könnte man zwei Größen wählen: Die Höhe des Quaders oder aber die Quadratlänge. Letzlich muss sich aus den restlichen Bedingungen die jewils andere Größe ergeben. Ich werde im folgenden die Quadratlänge als Optimierungsvariable verwenden (du kannst es ja mal selber mit der Höhe als OLptimerungsvariable durchführen, prinzipiell ändert sich nichts).

Zu 2.: Letzlich machen natürlich erst die Bedingungen/Nebenbedingungen dieOptimierung sinnvoll, das sollte man sich also gut überlegen. Hier gibt es ja erstmal zwei Bedingungen: Das Volumen V soll 800cm³ sein, und die Grundfläche soll quadratisch sein. Also: V=800, G=a² (a ist hier also die Optimerungsvariable, d.h. die Quadratseitenlänge).

Zu4.: Jetzt muss man eben eine Formel finden, die die zu optimierende Größe (hier also die Oberfläche ) allein mit der Optimerungsvariablen beschreibt, ansonsten dürfen keine unbekannten Größen miehr in der Gleichung aufteuchen. Daszu geht man am besten Schrittweise vor. Zuerst überlegen wir uns , dass für die Oberfläche des Quaders gelten muss:

O=2* a²+4* a* h

(Zwri Quadrate oben und unten und vier gleiche Rechtecke an den Seiten) Die Bedingung, dass die Grundfläche ein Quadrat ist, haben wir somit schon eingebaut (Hätte man sonst auch in zwei Schritten machen können, indem man erst ganz allgemein die Oberfläche eines Quaders bestimmt und dann eben a und h einsetzt). Jetzt haben wir noch die Bedingung für das Volumen, wobei dieses sich hier ja zu LÄnge mal Breite mal Höhe ergibt, also:

V=800, wobei --> 800=a²* h

Jetzt sehen wir, dass in unserer Gleichung für O noch das unbekannte h drinsteht, aber diese kann ja nun bestimm werden: h=800/a². Dass da noch ein a dabei ist, macht nichts aus, weil dies ja als Optimeruingsvariabole auftreten darf. Eingesetzt ergibt sich:

O=2* a²+4* a* 800/a²=2a²+3200/a

Hier tritt nur noch a auf, damit sind wir jetzt fertig.

Zu 5.: Das macht in der Regel keine Probleme: Ableiten, Nullstellen finden, fertig (Oder GTR). Hier also: a= 9,28

Zu 2. und 6.: Was jetzt noch zu tun ist, sind die Grenzen: Das muss man aus mehreren Gründen tun: Zum einen wegen der Konsistenz der Lösung. Nimm mal an, wirt hätten hier für a den optimalen Wert -2,365 rqasubekommen. Könnte zwar matehamtisch sinnvoll sein, aber physikalisch macht natürlich eine negative Quadratlänge keinen Sinnn. deshalb solten wir noch überlegen, welche Werte die Optmierungsvariable annhemen darf. Hier wäre also einfach nur a>0 gefordert, das passt ja auch. Es kann aber auch schiereiger sein. Nimm mal an, wir hätten ein Problem, bei dem die OPtimierungsvariable x zwischen 0 und 8 sein darf, als Zielfunktion hätten wir f(x)=x^4 - 12·x^3 + 34·x^2 + 12·x - 49 ermittelt, die wir hier maximieren wollen. Wennn man jetzt nur nach Maxima sucht, dann findet man den WErt x=3 als Optimum. Aber wenn man sich die Funktin annsieht erkennt man sofort, dass es ja im zulässigen Bereich noch höhere WErte gibt, die aber kein Maximum im Sinne von lokales Maximum (d.h. erste ABleitung ist Null) sind. Man muss deshalb immer noch die Grenzen des zulässigen Gebietes in die Zielfunktion einsetzen und nachprüfen, ob die das eigentliche Maximum sind. In dem Bsp. Würde man deshalb x=8 als optimalen Wert finden. (DasOptimum muss aber immer an den Grenzen des zulässigen Bereichs, oder den "normal" bestimmten Extrema sein)

Hi. Erst mal einen Riesendank fuer die Zeit die du investiert hast fuer die Antwort. Einige Fragen bleiben mir aber noch. Bei Schritt 5 hattest du ja geschrieben das ich die optimalen punkte finden mit ableitung erstellen und die dann nullsetzen muss. Muss ich in dem Falle die Funktion 2a^2 + 3200/a ableiten und nullsetzen. Und 2. weiss ich nicht wie man die Haupt und Nebenbedingungen bei solchen Aufgaben rausbekommt ^^.

0
@WurstWasserEnte

Ja, wie gesagt, die Oberfläche soll ja optimiert werden (und zwar in Abhägigkeit von a) und wie herglöeitet wied hier die Oberfläche durch

O(a)=2a²+3200/a

beschrieben. Jetzt musst du also das Minimum von O bezüpglich a finden, was man bspw. mit einem GTR machen kann oder eben durch Ableiten dieser Funktion nach a und Nullsetzen.

Ja das mit den Haupt- und Nabenbedingungen. Da wird in der Schuile oft recht viel Wert im Unterricht drauf gelegt, aber ich habe oft das Gefühl, dass die Schüler dadurch mehr verwirrt werden, als dass es ihnen hilft. Deshalb mein Tipp: Falls es nicht unbedingt vom Lehrer gefordert wird (bzw. du für dich selbst feststellst, dass das strikte Einhalten dieser Vorhgehensweise/Benennung für dich gut geeignet ist), dann achte da nicht so drauf. Geh da eher mit dem gesunden Menschenverstand ran und mach dir einfach klar, was hier genau optimiert werden soll (also hier die Oberfläche), welche Variable für die Optimierung verwendet werden soll (also hier entweder die Quadratseitenlänge oder die Höhe des Quaders) und überleg dir dann, wie du konkret in diesem Fall die zu optimierende Größe ausschließlich durch die veränderliche röße ausdrücken kannst. Dann hast du ja automatisch alle Bedingungen eingebunden und für die Aufgaben auf Schulnibveau ist das wirklich die sinnvollste und einleuchtendste Vorgehensweise.

Dennoch sollte man natürlich den "formalen Weg" auch verstanden haben: Als Hauptbedingung wird einfach das Verstanden, was das eigentliche Ziel ist, d.h. was optimert werden soll. In diesem Fall also einfach: Die Oberfläche soll minimal werden. Die Nebenbedingungen sind einfach alles, was eben sonst noch bei dieser Aufgabe an Vorgaben gemacht wird (und das die Aufgabe erst sinnvoll macht). Also wenn man das aauf das Besipiel hier bezieht: Die Aufgabe, die Oberfläche zu minimieren macht ja für sich alleine keinen Sinn: Denn das würde man ja einfach erreichen, indem man eine Schachtel mit den Maßen 0cm mal 0cm mal 0cm entwirft. Dann ist natürlich die Oberfläche minimal (0cm²), aber man hat halt auch keine Schachtel mehr. Deshalb gibt es eben immer auch weitere Bedingungen, die gleichzeitig eingehalten werden MÜSSEN (D.h.: Hauptbedingung: Minimere/Maximere irgendwas, Nebenbedingung: Sorge dafür, dass dies und jenes eingehalten wird). Hier also: Das Volumen MUSS 800cm³ betragen. Damit ist die "optimale" Lösung 0cmx0cmx0cm eben einfach nicht mehr zulässig und fliegt deshalb rasu. Und eine andere Nebenbedingung ist, dass hier die Gruzndfläche quadratisch ist, also zwei der drei Längen eines Quaders gleich sein sollen. Andere Möglichkeiten für Nebenbedingungen wären besipielsweise auch begrenzungen, also bspw. dass eine Größe zwischen 0 und 5 liegen soll. Damit gibt es eben auch Nebenbedingungen, die eine Gleichung darstellen (also z.B. V=800, oder a=b für die gleichen Seitenlängen) und die damit direkt für die Optimierung verwendet werden köännen (d.h. indem man die Oberfläche mit Hilfe dieser Gleichungen eben nur noch durch die Variable a ausdrückt). Andere Nebenbedingungen können erst am Ende auf Konsistenz geprüft werden also bsp. berechnet man erst, für welchen Wert x die aufgabe optimiert wird und schaut dann, ob die Lösung auch im Bereich zwischen 0 und 5 liegt ...)

Zusammengefasst: Die Hauptbedingung ergibt sich somit in der Regel sofort aus der Aufgabenstellung ("minimere/Maximiere diese Größe"), die Nebenbedingungen muss man eben auch aus der Aufgabenstellung herauslesen, auch wenn die natürlich manchmal etwas versteckt sein können.

0
@arrgh

Hm ja ich versteh langsam. Denke mal das Erfahrung mit solchen Aufgaben ne grosse Rolle spielt. Ich versuch einfach mal ein Paar zu loesen. Trotzdem vielen vielen Dank und mach weiter so ;)

0
@WurstWasserEnte

Naja, ne gewisse ERfahruzng gehört bestimmt dazu. Letzlich ist halt der eigentlich schwierige Teil (d.h. die Erstellung der Zeilfunktion) immer anders, deswegen kann man da allgmein recht wenig dazu sagen. Versuch einfach immer, die Aufgabe zu verstehen und auch, was dahinter steckt, dann müsste es mit gesundem Menschenverstand und ein bisschen Mathe kein Problem sein.

0

Bei solchen Aufgaben muss man immer erst mal den Text in Formeln umwandeln.

Bei a)

Man hat eine quadratische Säule. Aha, also hat man drei Maße, nämlich Länge und Breite der Gundfläche und die Höhe. Dazu kommt, dass die Grundfläche quadratisch sein soll. Nennen wir die beiden Maße mal ganz originell a, und h. Dann wissen wir das Volumen, nämlich 800cm³. Als erste Randbedingung haben wir also:

a² x h = 800cm³

Jetzt sollen wir den Materialverbrauch minimieren. Hmmm, wann ist der am kleinsten? Wenn die Oberfläche am kleinsten ist. Also soll die Oberfläche möglichst klein sein.

Als zweite Randbedingung haben wir also:

oben+unten+vorne+hinten+rechts+links=möglichst klein:

(2 x a²) + (2 x a x h) + (2 x a x h) = möglichst klein.

Das kann man weiter zusammenfassen:

(2 x a²) + (4 x a x h) = möglichst klein

Aus der ersten Gleichung wissen wir, dass a und h nicht beliebig sein können, sondern durch die Vorgabe des Volumens von einander abhängen. Das kann man ausnutzen, wenn man die Gleichung umstellt, so dass man sie in unsere zweite Gleichung einsetzen kann. Also:

a² x h = 800cm³ -> h = 800cm³/a² Super, damit kann man das h durch eine Gleichung mit a ersetzen.

(2 x a²) + (4 x a x h) = möglichst klein

(2 x a²) + (4 x a x (800cm³/a²) = möglichst klein.

(2 x a²) + (3200cm² /a) = möglichst klein.

Um das Minimum herauszufinden, muss man die Ableitung bilden und zu null setzen.

f(a) = (2 x a²) + (3200cm³ /a)

f'(a) = 4a - (3200cm³/a²)

Zu null setzen:

4a - (3200cm³/a²) = 0 | x a²

4a³ - 3200cm³ = 0 | /4

a³ - 800cm³ = 0 -> a³ = 800cm³ -> a = dritte Wurzel (800cm³) = 9,28cm

Wenn man das wieder in die Gleichung mit dem Zusammenhang zwischen a und h einsetzt, sieht man das a = h ist. Die kleinste Oberfläche hat also ein Würfel mit der Kantenlänge 9,28cm.

Bei Teil b) geht man genauso vor, nur dass man andere Randbedingungen hat. Dann stellt man solange um, bis man nur noch ein Variable hat und minimiert man das ganze wieder mit einer Ableitung.

Viel Erfolg!

Was möchtest Du wissen?