Ohne Zeichnung beweisen, dass dies eine Ellipse ist?

...komplette Frage anzeigen sa - (Mathematik, Abitur)

1 Antwort

https://de.wikipedia.org/wiki/Quadrik

hier besonders die Vorzeichen der quadratischen Glieder beachten

tinebea 11.08.2017, 16:55

muss die ja aber vorher auf eine andere form bringen.

verstehe diesen schritt nicht

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rumar 11.08.2017, 17:15
@tinebea

Ich schreibe u anstelle von y1 und v anstelle von y2  !

u^2 - 4√(2)u + 5v^2 + 3 = 0

(u^2 - 4√(2)u + 8)  + 5v^2 + 3 - 8  = 0

(u - 2√(2))^2 + 5 v^2 = 5

((u - 2√(2))^2)/5 +  v^2 = 1

Lösungskurve:  Ellipse mit Mittelpunkt M(u=y1=√(8) | v = y2=0) und den Halbachsen  a=√(5)  (in y1-Richtung)  und b=1 (in y2-Richtung)  

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PWolff 11.08.2017, 17:15
@tinebea

Stimmt, da hab ich was vergessen, man sollte vorher das lineare Glied verschwinden lassen. Das entspricht einer Translation (Parallelverschiebung). Ohne diesen Schritt könnte das "absolute Glied", das übrig bleibt, auch negativ werden.

Das geht über quadratische Ergänzung:

y1^2 -8/√2 y1

  = y1^2 - 4 √2 y1

  = y1^2 - 2 * (2 √2) * y1

  = y1^2 - 2 * (2 √2) * y1 + (2 √2)^2 - (2 √2)^2

  = (y1 - 2 √2)^2 - (2 √2)^2

  = (y1 - 2 √2)^2 - 8

Damit wird die Originalgleichung zu

(y1 - 2 √2)^2 + 5 y2^2 - 5 = 0

Umstellen:

(y1 - 2 √2)^2 + 5 y2^2 = 5

Der "absolute Term" wird - falls möglich - auf 1 normiert:

1/5 (y1 - 2 √2)^2 + 1 y2^2 = 1

Oder - um die Konstanten als Quadrate im Nenner zu haben -:

(y1 - 2 √2)^2 / a^2 + y2^2 / b^2 = 1

mit a = √5  und  b = 1

Wenn uns das Minuszeichen in der Klammer noch stört, können wir die Transformation auch explizit durchführen:

y1' := y1 - 2 √2 ;  y2' := y2

Damit:

y1^2 / a^2 + y2^2 / b^2 = 1

mit a, b wie oben

Damit haben wir die Mittelpunktform einer Ellipse.

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tinebea 11.08.2017, 17:47
@LeBonyt

warum lässt man denn genau y2 verschwinden und nicht y1

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PWolff 11.08.2017, 19:33
@tinebea

Wie meinst du das? Wenn eine Variable in einem Funktionsterm 2. Ordnung einmal als Quadrat auftritt, tritt sie immer als Quadrat auf. Also müssen sowohl y1 als auch y2 erhalten bleiben. Was man zum Verschwinden bringt, sind die "linearen Terme", also y1^1 bzw. y2^1.

Übrigens habe ich in meiner letzten Formel die Striche vergessen - richtig ist:

y1'^2 / a^2 + y2'^2 / b^2 = 1

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